{"id":1259,"date":"2022-01-08T02:08:13","date_gmt":"2022-01-08T00:08:13","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=1259"},"modified":"2022-01-13T23:58:10","modified_gmt":"2022-01-13T21:58:10","slug":"miejsce-odrzanskie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/","title":{"rendered":"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?"},"content":{"rendered":"

Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b, kt\u00f3ra sta\u0142a si\u0119 znana, bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam tylko dziewczynki (a by\u0142o ich 12). Ile dzieci (\u015brednio) musi si\u0119 urodzi\u0107 aby urodzi\u0142o si\u0119 w\u0142a\u015bnie tyle dziewczynek z rz\u0119du? W tym wpisie nauczymy si\u0119 liczy\u0107 tego typu prawdopodobie\u0144stwa.
\n<\/p>\n

Ta niewielka, urokliwa wie\u015b jak\u0105 jest Miejsce Odrza\u0144skie, znajduje si\u0119 w wojew\u00f3dztwie opolskim, w powiecie k\u0119dzierzy\u0144sko-kozielskim. W jednym z poprzednich wpis\u00f3w (link<\/a>) oszacowali\u015bmy ile \u015brednio powinno by\u0107 w Polsce wsi, w kt\u00f3rych urodzi\u0142oby si\u0119 (a dok\u0142adniej nie w nich tylko ich mieszka\u0144com) co najmniej 12 dziewczynek z rz\u0119du gdyby\u015bmy np. od dzisiaj zacz\u0119li notowa\u0107 w ka\u017cdej z nich p\u0142cie urodzonych dzieci. Okaza\u0142o si\u0119, \u017ce Miejsce Odrza\u0144skie a\u017c takie niezwyk\u0142e nie jest jak mog\u0142oby si\u0119 wydawa\u0107. Dzi\u015b zajmiemy si\u0119 nieco innym zagadnieniem. Policzymy ile \u015brednio urodze\u0144 musi si\u0119 zdarzy\u0107 aby trafi\u0107 na tak\u0105 seri\u0119 dziewczynek?<\/p>\n

Rozwi\u0105zuj\u0105c r\u00f3\u017cnorakie problemy matematyczne zwi\u0105zane z p\u0142ci\u0105 dzieci przyjmuje si\u0119 cz\u0119sto (zw\u0142aszcza w szkole), \u017ce szanse na ch\u0142opca s\u0105 takie same jak na dziewczynk\u0119. Za\u0142o\u017cenie to pozwala cz\u0119sto upro\u015bci\u0107 obliczenia, jednak nie odzwierciedla do ko\u0144ca rzeczywisto\u015bci. Ch\u0142opc\u00f3w rodzi si\u0119 nieznacznie wi\u0119cej i jest to og\u00f3lny trend. Poniewa\u017c odnosimy si\u0119 do s\u0142ynnej sytuacji zwi\u0105zanej z Miejscem Odrza\u0144skim, to podobnie jak w linkowanym wy\u017cej wpisie przyjmiemy szanse na urodzenie ch\u0142opca jako 0,5146, a dziewczynki 0,4854.<\/p>\n

Ka\u017cde urodzenie kolejnego dziecka mo\u017cemy traktowa\u0107 jako pr\u00f3b\u0119 Bernoulliego, tzn. zdarzenie, kt\u00f3re mo\u017ce zako\u0144czy\u0107 si\u0119 dwoma wynikami zwanymi sukcesem oraz pora\u017ck\u0105. Proste przyk\u0142ady to rzut monet\u0105 oraz w\u0142a\u015bnie p\u0142e\u0107 dziecka. W og\u00f3lno\u015bci mo\u017cna jako pr\u00f3b\u0119 Bernoulliego traktowa\u0107 zdarzenia maj\u0105ce wi\u0119cej ni\u017c dwa mo\u017cliwe wyniki, o ile jeste\u015bmy w stanie je podzieli\u0107 na dwie grupy A oraz B, z kt\u00f3rych jedn\u0105 uznajemy za sukces.<\/p>\n

Prawdopodobie\u0144stwo sukcesu oznacza si\u0119 zwyczajowo \\(p\\), gdzie \\(0\\leqslant p\\leqslant 1\\). W\u00f3wczas prawdopodobie\u0144stwo pora\u017cki to \\(q=1-p\\)<\/p>\n

P\u0142cie kolejnych dzieci rodz\u0105cych si\u0119 (zw\u0142aszcza r\u00f3\u017cnym) mieszka\u0144com danej miejscowo\u015bci nie zale\u017c\u0105 od siebie. M\u00f3wi\u0105c bardziej matematycznie s\u0105 to zdarzenia niezale\u017cne<\/em>. Dlatego, gdy zajmujemy si\u0119 prawdopodobie\u0144stwem zwi\u0105zanym z seri\u0105 pr\u00f3b Bernoulliego pos\u0142ugujemy si\u0119 tzw. rozk\u0142adem Bernoulliego<\/em> zwanym te\u017c dwumianowym<\/em>.<\/p>\n

W wielkim skr\u00f3cie, rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa m\u00f3wi nam jak roz\u0142o\u017cone jest prawdopodobie\u0144stwo w zbiorze wszystkich mo\u017cliwych wynik\u00f3w danego do\u015bwiadczenia losowego. Przyk\u0142adowo w przypadku rzutu uczciw\u0105 monet\u0105, or\u0142u jak i reszce przypisujemy po 0,5. Jest to zreszt\u0105 szczeg\u00f3lny przypadek pr\u00f3by Bernoulliego.<\/p>\n

Gdy wykonujemy \\(n\\) pr\u00f3b Bernoulliego z prawdopodobie\u0144stwem sukcesu \\(p\\), to szanse na dok\u0142adnie \\(k\\) sukces\u00f3w dla \\(k\\in\\{0,1,\\ldots,n\\}\\) wynosz\u0105 \\[{n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\\] i t\u0119 warto\u015b\u0107 rozk\u0142ad Bernoulliego \\(B(n,p)\\) przypisuje liczbie \\(k\\).<\/p>\n

Sp\u00f3jrzmy na poni\u017cszy rysunek przedstawiaj\u0105cy przyk\u0142adowe p\u0142cie kolejnych dzieci. Kolor niebieski oznacza ch\u0142opca, fioletowy za\u015b dziewczynk\u0119.
\n\"Miejsce<\/p>\n

W zobrazowanej sytuacji mamy osiemna\u015bcioro dzieci, z czego 8 to dziewczynki. Prawdopodobie\u0144stwo tego, \u017ce w\u015br\u00f3d osiemna\u015bciorga dzieci dok\u0142adnie 8 to dziewczynki, jest r\u00f3wne (przy naszych za\u0142o\u017ceniach) \\[{18\\choose 8}\\cdot 0,4854^8\\cdot 0,5146^{10}\\]<\/p>\n

Innym przyk\u0142adem rozk\u0142adu, kt\u00f3ry zreszt\u0105 jeszcze si\u0119 nam dalej przyda, jest tzw. rozk\u0142ad geometryczny<\/a>. Liczbie naturalnej \\(k\\gt 0\\) przypisuje on prawdopodobie\u0144stwo tego, \u017ce wykonuj\u0105c pr\u00f3by Bernoulliego, pierwszy sukces otrzymamy w \\(k\\)-tej pr\u00f3bie. Nietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce szanse na to wynosz\u0105 \\(p(1-p)^{k-1}\\).<\/p>\n

Jest jeszcze jedno wa\u017cne poj\u0119cie, o kt\u00f3rym musimy wspomnie\u0107 zanim przejdziemy do konkretnych wylicze\u0144. Jest nim warto\u015b\u0107 oczekiwana<\/em>. Jest to, m\u00f3wi\u0105c w wielkim skr\u00f3cie, \u015brednik wynik danego eksperymentu. Przyk\u0142adowo, gdy rzucamy uczciw\u0105 kostk\u0105 do gry, to \u015bredni wynik jest r\u00f3wny 3,5.<\/p>\n

Gdy mamy pewien eksperyment \\(X\\) (lub m\u00f3wi\u0105c matematycznie zmienn\u0105 losow\u0105 \\(X\\)) z mo\u017cliwymi wynikami \\(x_i\\), w kt\u00f3rych ka\u017cdy zachodzi z prawdopodobie\u0144stwem \\(p_i\\), to warto\u015b\u0107 oczekiwana \\(E[X]\\) jest r\u00f3wna \\[E[X]=x_1p_1+x_2p_2+\\cdots+x_np_n+\\cdots\\]<\/p>\n

Warto\u015b\u0107 oczekiwana zmiennej losowej o rozk\u0142adzie \\(B(n,p)\\) jest r\u00f3wna \\(np\\). Czyli wykonuj\u0105c \\(n\\) pr\u00f3b Bernoulliego otrzymamy \u015brednio \\(np\\) sukces\u00f3w. W przypadku zmiennej losowej o rozk\u0142adzie geometrycznym warto\u015b\u0107 oczekiwana to \\(\\frac 1p\\) dla \\(p\\gt 0\\).<\/p>\n

Spr\u00f3bujmy teraz oszacowa\u0107 liczb\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego \\(Y_n\\) potrzebn\u0105 do uzyskania \\(n\\) kolejnych sukces\u00f3w. Przy czym na razie przyjmujemy, \u017ce \\(0\\lt p \\lt 1\\) pomijaj\u0105c przypadki skrajne \\(p=0\\) oraz \\(p=1\\). B\u0119dziemy \\(Y_n\\) traktowa\u0107 jako zmienn\u0105 losow\u0105. Musimy wi\u0119c obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 oczekiwan\u0105 \\(E[Y_n]\\).<\/p>\n

Szansa na otrzymanie \\(n\\) sukces\u00f3w w pierwszych \\(n\\) pr\u00f3bach jest, jak wiemy, r\u00f3wna \\(p^n\\). Je\u017celi w pierwszych \\(n\\) pr\u00f3bach nie otrzymali\u015bmy samych sukces\u00f3w, to oznacza to, \u017ce pierwsze \\(k\\) pr\u00f3b zako\u0144czy\u0142o si\u0119 sukcesami, gdzie \\(k\\in\\{0,1,\\ldots,n-1\\}\\). Za\u015b w pr\u00f3bie \\(k+1\\) otrzymali\u015bmy pora\u017ck\u0119, kt\u00f3ra sprawia, \u017ce ca\u0142\u0105 zabaw\u0119 zaczynamy od nowa. Mo\u017cemy wi\u0119c powiedzie\u0107, \u017ce \\(E[Y_n]\\) spe\u0142nia r\u00f3wno\u015b\u0107: \\[\\begin{array}{lll}E[Y_n] & = & p^nn+\\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k(1-p)(k+1+E[Y_n]) = \\\\ & = & \\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k(1-p)E[Y_n] + \\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k(1-p)(k+1) \\end{array}\\]<\/p>\n

Musimy jednak zwr\u00f3ci\u0107 uwag\u0119 na jedn\u0105 wa\u017cn\u0105 rzecz. Aby m\u00f3c bez obaw wykonywa\u0107 obliczenia zawieraj\u0105ce \\(E[Y_n]\\) musimy pokaza\u0107, \u017ce jest to liczba sko\u0144czona dla \\(p\\neq 0\\). Intuicyjnie wydaje si\u0119 to w miar\u0119 oczywiste. Otrzymanie sukcesu nie jest niczym nadzwyczajnym nawet gdy \\(p\\) jest bardzo ma\u0142e. Co jaki\u015b czas si\u0119 to powinno zdarzy\u0107. Po ka\u017cdym sukcesie, je\u017celi nadal wykonujemy pr\u00f3by Bernoulliego, czasami r\u00f3wnie\u017c trafi si\u0119 sukces w nast\u0119pnej pr\u00f3bie co sprawia, \u017ce mamy ju\u017c dwa sukcesy z rz\u0119du. Id\u0105c dalej w takim rozumowaniu dochodzimy do wniosku, \u017ce aby otrzyma\u0107 \\(n\\) sukces\u00f3w z rz\u0119du, nawet dla du\u017cego \\(n\\) trzeba poczeka\u0107 odpowiednio d\u0142ugo.<\/p>\n

Teraz przedstawimy bardziej matematyczny argument. Wykonujemy pr\u00f3by Bernnoulliego a\u017c do otrzymania \\(n\\) sukces\u00f3w z rz\u0119du. Je\u017celi podzielimy ci\u0105g pr\u00f3b na roz\u0142\u0105czne sekwencje po \\(n\\) kolejnych pr\u00f3b oraz wyst\u0105pienie \\(n\\) sukces\u00f3w z rz\u0119du uznamy za… sukces, to mamy now\u0105 seri\u0119 pr\u00f3b Bernoulliego o prawdopodobie\u0144stwie sukcesu \\(p^n\\). Oznaczmy kolejne takie pr\u00f3by przez \\(X_1, X_2\\) itd. Sukces kt\u00f3rejkolwiek pr\u00f3by \\(X_i\\) oznacza wyst\u0105pienie \\(n\\) sukces\u00f3w z rz\u0119du pierwotnego eksperymentu. Poniewa\u017c warto\u015b\u0107 oczekiwana zmiennej losowej o rozk\u0142adzie geometrycznym (o ile \\(p\\neq 0\\)) jest sko\u0144czona, to sko\u0144czona musi by\u0107 r\u00f3wnie\u017c \\(E[Y_n]\\). Wr\u00f3\u0107my do oblicze\u0144.<\/p>\n

Poniewa\u017c \\[\\begin{array}{lll}\\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k(1-p) & = & p^0(1-p)+p^1(1-p)+p^2(1-p)+\\cdots+p^{n-1}(1-p)\\\\ & = &1-p+p-p^2+p^2-p^3+\\cdots+p^{n-1}-p^n=1-p^n,\\end{array}\\]
\nto \\[\\begin{array}{lll}E[Y_n] & = & p^nn+(1-p^n)E[Y_n]+ \\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k(k+1) – \\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^{k+1}(k+1)\\end{array}\\] Przenosz\u0105c \\((1-p^n)E[Y_n]\\) na drug\u0105 stron\u0119 otrzymujemy \\[\\begin{array}{lll}p^nE[Y_n] & = & p^nn +\\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k(k+1) – \\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^{k+1}(k+1)=\\\\ & = & p^nn +\\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k(k+1) – \\sum\\limits_{k=1}^{n}p^kk=\\\\
\n& = & p^nn+1 +\\sum\\limits_{k=1}^{n-1}p^k(k+1) – p^nn- \\sum\\limits_{k=1}^{n-1}p^kk=\\\\ & = & 1+\\sum\\limits_{k=1}^{n-1}p^k(k+1)-\\sum\\limits_{k=1}^{n-1}p^kk = 1+\\sum\\limits_{k=1}^{n-1}p^k=\\\\
\n& = & \\sum\\limits_{k=0}^{n-1}p^k=\\dfrac{1-p^n}{1-p}
\n\\end{array}\\]<\/p>\n

Ostatecznie mamy \\[E[Y_n]=\\dfrac{1-p^n}{p^n(1-p)}=\\dfrac{1}{p}+\\dfrac{1}{p^2}+\\cdots+\\dfrac{1}{p^n}, \\textrm{ dla } 0\\lt p \\lt 1.\\] Dla \\(p=1\\) mamy oczywi\u015bcie \\(E[Y_n]=n\\), za\u015b dla \\(p=0\\) dostajemy \\(E[Y_n]=+\\infty\\).<\/p>\n

\nTeraz mo\u017cemy ju\u017c oszacowa\u0107 ilo\u015b\u0107 dzieci jaka musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du. Przyjmuj\u0105c prawdopodobie\u0144stwo sukcesu r\u00f3wne 0,4854 otrzymujemy \\[E[Y_{12}]\\approx 11356,87\\] Czyli \u015brednio tyle dzieci powinno si\u0119 urodzi\u0107 do momentu uzyskania 12 dziewczynek z rz\u0119du. Nie oznacza to jednak, \u017ce zawsze b\u0119dzie to ponad 11 tysi\u0119cy. Czasami b\u0119dzie to liczba znacznie wi\u0119ksza ni\u017c ta kt\u00f3r\u0105 uzyskali\u015bmy teoretycznie, a czasami znacznie mniejsza.<\/p>\n

\nPoni\u017cej wyniki stu symulacji, kt\u00f3re przeprowadzi\u0142em. Ka\u017cda z liczb odpowiada innej symulacji i jest po prostu numerem urodzenia, w kt\u00f3rym urodzi\u0142a si\u0119 12 dziewczynka z rz\u0119du. Symulacj\u0119 t\u0119 zrobi\u0142em w Excelu wi\u0119c kolejne ,,urodzenia” by\u0142y losowe na tyle, na ile losowa jest funkcja Rnd() w VBA. Najwi\u0119ksza otrzymana ilo\u015b\u0107 ,,urodze\u0144”, to 58 453, za\u015b najmniejsza to jedynie 44. Rozpi\u0119to\u015b\u0107 jak wida\u0107 jest spora. \u015arednia za\u015b to 12 293,7 czyli nieca\u0142y tysi\u0105c wi\u0119cej od tej teoretycznej. <\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
22 927<\/td>\n3 831<\/td>\n4 334<\/td>\n17 518<\/td>\n8 007<\/td>\n47 700<\/td>\n6 363<\/td>\n12 814<\/td>\n7 399<\/td>\n3 177<\/td>\n<\/tr>\n
22 781<\/td>\n15 837<\/td>\n17 916<\/td>\n5 573<\/td>\n3 384<\/td>\n3 550<\/td>\n3 229<\/td>\n8 927<\/td>\n18 339<\/td>\n9 532<\/td>\n<\/tr>\n
1 891<\/td>\n30 947<\/td>\n535<\/td>\n15 316<\/td>\n3 102<\/td>\n13 861<\/td>\n16 682<\/td>\n10 604<\/td>\n68<\/td>\n2 810<\/td>\n<\/tr>\n
82<\/td>\n3 303<\/td>\n35 475<\/td>\n418<\/td>\n608<\/td>\n4 616<\/td>\n15 052<\/td>\n23 047<\/td>\n5 294<\/td>\n4 102<\/td>\n<\/tr>\n
4 745<\/td>\n30 241<\/td>\n1 865<\/td>\n3 843<\/td>\n49 975<\/td>\n1 038<\/td>\n58 453<\/td>\n641<\/td>\n4 087<\/td>\n19 420<\/td>\n<\/tr>\n
12 920<\/td>\n471<\/td>\n21 324<\/td>\n2 258<\/td>\n14 334<\/td>\n9 181<\/td>\n16 136<\/td>\n18 711<\/td>\n26 352<\/td>\n25 352<\/td>\n<\/tr>\n
12 992<\/td>\n1 347<\/td>\n23 673<\/td>\n33 600<\/td>\n14 372<\/td>\n4 458<\/td>\n3 395<\/td>\n7 300<\/td>\n3 211<\/td>\n12 284<\/td>\n<\/tr>\n
3 618<\/td>\n1 381<\/td>\n27 567<\/td>\n3 775<\/td>\n14 004<\/td>\n16 942<\/td>\n19 255<\/td>\n2 467<\/td>\n9 250<\/td>\n2 020<\/td>\n<\/tr>\n
9 691<\/td>\n23 032<\/td>\n31 209<\/td>\n4 673<\/td>\n5 915<\/td>\n9 724<\/td>\n11 952<\/td>\n7 263<\/td>\n6 583<\/td>\n23 678<\/td>\n<\/tr>\n
2 574<\/td>\n24 663<\/td>\n9 392<\/td>\n34 461<\/td>\n12 988<\/td>\n7 918<\/td>\n1 014<\/td>\n10 347<\/td>\n23 040<\/td>\n44<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\nJe\u015bli przyjmiemy \\(p=0,5\\), to otrzymamy \\(E[Y_n]=2^{n+1}-1\\). Czyli \u015brednio powinni\u015bmy rzuca\u0107 8 191 razy uczciw\u0105 monet\u0105, aby otrzyma\u0107 12 or\u0142\u00f3w z rz\u0119du. Widzimy wi\u0119c, \u017ce nie ma niczego nadzwyczajnego w istnieniu miejscowo\u015bci takiej jak Miejsce Odrza\u0144skie, w kt\u00f3rej urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du. Og\u00f3lnie, pojawienie si\u0119 jakiej\u015b dosy\u0107 d\u0142ugiej serii takich samych wynik\u00f3w w jakimkolwiek procesie (np. urodzenia dzieci, rzut monet\u0105, ruletka itp.) nie oznacza od razu, \u017ce co\u015b jest nie tak. Co jaki\u015b czas takie serie musz\u0105 si\u0119 pojawia\u0107. Podejrzane by by\u0142o gdyby si\u0119 nie pojawia\u0142y w og\u00f3le. <\/p>\n

\nGdyby\u015bmy zamiast interesowania si\u0119 12 dziewczynkami z rz\u0119du interesowali si\u0119 zdarzeniem ,,urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du lub 12 ch\u0142opc\u00f3w z rz\u0119du”, to stosowna warto\u015b\u0107 oczekiwana by\u0142aby mniejsza! Ale to ju\u017c materia\u0142 na inn\u0105 histori\u0119. <\/p>\n

\n

Literatura<\/h4>\n

M. Riggle<\/strong>, Runs of Identical Outcomes in a Sequence of Bernoulli Trials<\/em>, Western Kentucky Univ. (2018)
\nS.M. Ross<\/strong>, Introduction to Probability Models<\/em>, Elsevier Inc. (2007)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Miejsce Odrza\u0144skie to wie\u015b, kt\u00f3ra sta\u0142a si\u0119 znana, bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam tylko dziewczynki (a by\u0142o ich 12). Ile dzieci (\u015brednio) musi si\u0119 urodzi\u0107 aby urodzi\u0142o si\u0119 w\u0142a\u015bnie tyle dziewczynek z rz\u0119du?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1272,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[24],"tags":[22],"yoast_head":"\nIle dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Miejsce Odrza\u0144skie - wie\u015b znana bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam same dziewczynki (by\u0142o ich 12). Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Miejsce Odrza\u0144skie - wie\u015b znana bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam same dziewczynki (by\u0142o ich 12). Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-01-08T00:08:13+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-01-13T21:58:10+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"1011\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"246\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?\",\"datePublished\":\"2022-01-08T00:08:13+00:00\",\"dateModified\":\"2022-01-13T21:58:10+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/\"},\"wordCount\":1851,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png\",\"keywords\":[\"Prawdopodobie\u0144stwo\"],\"articleSection\":[\"Prawdopodobie\u0144stwo\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/\",\"name\":\"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png\",\"datePublished\":\"2022-01-08T00:08:13+00:00\",\"dateModified\":\"2022-01-13T21:58:10+00:00\",\"description\":\"Miejsce Odrza\u0144skie - wie\u015b znana bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam same dziewczynki (by\u0142o ich 12). Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png\",\"width\":1011,\"height\":246,\"caption\":\"blog matematyczny\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?","description":"Miejsce Odrza\u0144skie - wie\u015b znana bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam same dziewczynki (by\u0142o ich 12). Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?","og_description":"Miejsce Odrza\u0144skie - wie\u015b znana bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam same dziewczynki (by\u0142o ich 12). Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2022-01-08T00:08:13+00:00","article_modified_time":"2022-01-13T21:58:10+00:00","og_image":[{"width":1011,"height":246,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"6 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?","datePublished":"2022-01-08T00:08:13+00:00","dateModified":"2022-01-13T21:58:10+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/"},"wordCount":1851,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png","keywords":["Prawdopodobie\u0144stwo"],"articleSection":["Prawdopodobie\u0144stwo"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/","name":"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png","datePublished":"2022-01-08T00:08:13+00:00","dateModified":"2022-01-13T21:58:10+00:00","description":"Miejsce Odrza\u0144skie - wie\u015b znana bo przez 10 lat rodzi\u0142y si\u0119 tam same dziewczynki (by\u0142o ich 12). Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/MiejOdrz002.png","width":1011,"height":246,"caption":"blog matematyczny"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2022\/01\/08\/miejsce-odrzanskie\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Ile dzieci musi si\u0119 urodzi\u0107 by urodzi\u0142o si\u0119 12 dziewczynek z rz\u0119du?"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1259"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1259"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1259\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1297,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1259\/revisions\/1297"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1272"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1259"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1259"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1259"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}