{"id":124,"date":"2021-03-17T21:59:29","date_gmt":"2021-03-17T21:59:29","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=124"},"modified":"2024-10-29T01:21:44","modified_gmt":"2024-10-28T23:21:44","slug":"metoda-kaczmarza","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/","title":{"rendered":"Tomografia komputerowa a uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144. Metoda Kaczmarza."},"content":{"rendered":"

R\u00f3wnania liniowe oraz uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych s\u0105 jedn\u0105 z tych rzeczy, kt\u00f3rych musimy si\u0119 uczy\u0107 w szkole. Nieraz si\u0119 pewnie zastanawiaj\u0105c po co to komu potrzebne? To, \u017ce umiemy i ca\u0142y czas udoskonalamy metody rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 liniowych leg\u0142o u podstaw wynalezienia tomografu komputerowego. Matoda Kaczmarza, bo o niej mowa, jest ponadto \u015bwietnym przyk\u0142adem tego, \u017ce warto zajmowa\u0107 si\u0119 (matematycznymi) rzeczami z pozoru nie maj\u0105cymi zastosowania w prawdziwym \u017cyciu.
\n<\/p>\n

R\u00f3wnania liniowe s\u0105 najprostszym rodzajem r\u00f3wna\u0144, kt\u00f3re uczymy si\u0119 rozwi\u0105zywa\u0107 na lekcjach matematyki. Nieco trudniejsze do rozwi\u0105zania s\u0105 uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych. Te spotykane w szkole zazwyczaj sk\u0142adaj\u0105 si\u0119 z dwu r\u00f3wna\u0144 z dwiema niewiadomymi. Uczymy si\u0119, \u017ce je\u017celi Zosia za dwie (takie same) bu\u0142ki oraz batona zap\u0142aci\u0142a 5 z\u0142, a Jola za tak\u0105 sam\u0105 bu\u0142k\u0119 i takiego samego batona zap\u0142aci\u0142a 3 z\u0142, to taki problem mo\u017cemy rozwi\u0105za\u0107 przy pomocy uk\u0142adu r\u00f3wna\u0144
\n\\[\\left\\{\\begin{array}{lllll}
\n2x & + & y & = & 5\\\\ x & + & y & = & 3.
\n\\end{array}\\right.\\]<\/p>\n

Znacznie rzadziej spotykamy si\u0119 w szkole z uk\u0142adami r\u00f3wna\u0144, maj\u0105cymi wi\u0119cej ni\u017c dwie niewiadome. Z takimi studenci matematyki oraz np. kierunk\u00f3w technicznych zaprzyja\u017aniaj\u0105 si\u0119 na pierwszym roku studi\u00f3w. Jednak\u017ce bardzo rzadko wspomina si\u0119 o zastosowaniach, skupiaj\u0105c si\u0119 g\u0142\u00f3wnie na umiej\u0119tno\u015bci ich rozwi\u0105zywania.<\/p>\n

Wraz z rozwojem nauki zmuszeni jeste\u015bmy do rozwi\u0105zywania nowych i cz\u0119sto coraz bardziej z\u0142o\u017conych obliczeniowo problem\u00f3w. Niekt\u00f3re z nich, jak np. modele pogody prowadz\u0105 w\u0142a\u015bnie do uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 liniowych. Dlatego warto rozwija\u0107 znane i wymy\u015bla\u0107 nowe metody np. rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 liniowych.<\/p>\n

W tym wpisie opiszemy jeden z przyk\u0142ad\u00f3w, gdzie w\u0142a\u015bnie one znalaz\u0142y zastosowanie (przez kr\u00f3tki czas, p\u00f3\u017aniej u\u017cywano lepszych metod) oraz u\u017cyt\u0105 w\u00f3wczas metod\u0119 ich (w tym przypadku przybli\u017conego) rozwi\u0105zywania. Dok\u0142adniej, zajmiemy si\u0119 bardzo wa\u017cnym wynalazkiem jakim jest tomograf komputerowy, za konstrukcj\u0119 kt\u00f3rego Sir Godfrey Hounsfield oraz Allan Cormack otrzymali w 1979 Nagrod\u0119 Nobla w dziedzinie medycyny.<\/p>\n

Tomografia, to spos\u00f3b zobaczenia co jest wewn\u0105trz obiektu bez otwierania go.
\nA. Markoe ,,Analytic Tomography”<\/p><\/blockquote>\n

Mimo i\u017c tomograf zosta\u0142 skonstruowany na prze\u0142omie lat sze\u015b\u0107dziesi\u0105tych i siedemdziesi\u0105tych ubieg\u0142ego wieku, to jego historia zacz\u0119\u0142a si\u0119 tak naprawd\u0119 znacznie wcze\u015bniej.<\/p>\n

W 1895 roku Wilhelm R\u00f6ntgen odkry\u0142 promieniowanie znane dzisiaj (w Polsce i Niemczech) jako promieniowanie rentgenowskie lub (na \u015bwiecie) jako promieniowanie X. Za swoje odkrycie otrzyma\u0142 w 1901 Nagrod\u0119 Nobla. Poni\u017cej jedno z pierwszych zdj\u0119\u0107 rentgenowskich przedstawiaj\u0105ce d\u0142o\u0144 Alberta von K\u00f6llikera. Wykona\u0142 je sam R\u00f6ntgen w 1896 roku w Instytucie Fizyki Uniwersytetu w W\u00fcrzburgu.<\/p>\n

\"Zdj\u0119cie<\/p>\n

Zwyk\u0142e prze\u015bwietlenie pozwala zobaczy\u0107 bardzo dobrze struktury (np. ko\u015bci), kt\u00f3re absorbuj\u0105 sporo promieniowania. Gorzej np. z narz\u0105dami wewn\u0119trznymi, kt\u00f3re absorbuj\u0105 go znaczniej mniej i je\u017celi w linii mi\u0119dzy \u017ar\u00f3d\u0142em promieniowania a detektorem znajduje si\u0119 ko\u015b\u0107, to przys\u0142oni inne narz\u0105dy na rentgenogramie.<\/p>\n

A co je\u017celi zrobimy wi\u0119cej prze\u015bwietle\u0144? Taka, w skr\u00f3cie, jest idea dzia\u0142ania tomografu komputerowego. Urz\u0105dzenie wysy\u0142a promieniowanie rentgenowskie pod r\u00f3\u017cnymi k\u0105tami, kt\u00f3re przeszed\u0142szy przez badany obiekt (np. pacjenta) trafia do detektora. Jeste\u015bmy w stanie zmierzy\u0107 nat\u0119\u017cenie promieniowania wej\u015bciowego oraz wyj\u015bciowego i na tej podstawie wywnioskowa\u0107 jak wygl\u0105da wewn\u0119trzna struktura badanego obiektu.<\/p>\n

To, \u017ce co\u015b takiego jest mo\u017cliwe wiemy z pracy z 1917 roku austriackiego matematyka Johana Radona, kt\u00f3ry udowodni\u0142, \u017ce gdy na p\u0142aszczy\u017anie jest okre\u015blona funkcja spe\u0142niaj\u0105ca pewne warunki, to jeste\u015bmy w stanie j\u0105 odtworzy\u0107 maj\u0105c informacje o warto\u015bciach ca\u0142ek z tej funkcji wzd\u0142u\u017c prostych na p\u0142aszczy\u017anie. Wprowadzi\u0142 w tym celu co\u015b co nazywamy dzisiaj transformat\u0105 Radona<\/a>. Wyniki Radona zosta\u0142y ponownie odkryte przez Cormacka w jego pracach z 1963 oraz 1964. Przez d\u0142ugi czas ,,matematyczna” cz\u0119\u015b\u0107 tomograf\u00f3w komputerowych opiera\u0142a si\u0119 w\u0142a\u015bnie na wykorzystaniu tego co odkryli Radon oraz Cormack. Z pewno\u015bci\u0105 i o tym wpis si\u0119 na tym blogu pojawi.<\/p>\n

Jednak\u017ce pierwsze tomografy dzia\u0142a\u0142y nieco inaczej. Rozwi\u0105zywa\u0142y uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 liniowych wykorzystuj\u0105c metod\u0119 przybli\u017conego ich rozwi\u0105zywania wymy\u015blon\u0105 (i opublikowan\u0105 w 1937) przez polskiego matematyka Stefana Kaczmarza<\/a> i ponownie odkryt\u0105 w pracy Gordona, Bendera oraz Hermana. Zanim jednak om\u00f3wimy metod\u0119 Kaczmarza, to najpierw opiszemy w jaki spos\u00f3b uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych mog\u0105 pojawia\u0107 si\u0119 w kontek\u015bcie tomografii komputerowej. Idea jest prosta.<\/p>\n

Gdy promieniowanie przechodzi przez pewien jednorodny o\u015brodek, pokonuj\u0105c w nim drog\u0119 \\(\\alpha\\), to zgodnie z prawem Lamberta-Beera, jego nat\u0119\u017cenie zmienia si\u0119 wg wzoru
\n\\[I=I_0e^{-k\\alpha},\\]
\ngdzie \\(I_0\\) – nat\u0119\u017cenie wej\u015bciowe, \\(I\\) – nat\u0119\u017cenie wyj\u015bciowe, \\(k\\) – wsp\u00f3\u0142czynnik absorpcji (zale\u017cny od o\u015brodka).
\nW przypadku, gdy promieniowanie przechodzi przez kilka o\u015brodk\u00f3w, otrzymujemy
\n\\[I=I_0e^{-k_1\\alpha_1}e^{-k_2\\alpha_2}\\cdot\\ldots\\cdot e^{-k_n\\alpha_n}=I_0e^{-(k_1\\alpha_1+\\ldots+k_n\\alpha_n)}.\\]
\nDziel\u0105c obustronnie przez \\(I_0\\), a nast\u0119pnie logarytmuj\u0105c otrzymujemy r\u00f3wnanie liniowe
\n\\[-\\ln{\\frac{I}{I_0}}=k_1\\alpha_1+\\ldots+k_n\\alpha_n.\\]
\nZnaj\u0105c \\(I\\) oraz \\(I_0\\) jeste\u015bmy w stanie obliczy\u0107 warto\u015b\u0107 \\(\\ln{\\frac{I}{I_0}}\\).<\/p>\n

Innymi s\u0142owy, ka\u017cdy promie\u0144 przechodz\u0105cy przez np. obiekt taki jak poni\u017cej prowadzi do pewnego r\u00f3wnania liniowego. W tym przypadku z trzema niewiadomymi.<\/p>\n

\"Kaczmarz<\/p>\n

Znaj\u0105c punkt oraz k\u0105t wyemitowania jeste\u015bmy w stanie stwierdzi\u0107 przez kt\u00f3re kwadraciki promie\u0144 przeszed\u0142 oraz jak\u0105 pokona\u0142 w nich drog\u0119. Jedynymi niewiadomymi s\u0105 wsp\u00f3\u0142czynniki absorpcji.<\/p>\n

Teraz poka\u017cemy w jaki spos\u00f3b mo\u017cna to wykorzysta\u0107 w tomografii. Dla prostoty pos\u0142u\u017cymy si\u0119 modelem dwuwymiarowym.
\n\"\"<\/p>\n

Pierwszym krokiem jest podzielenie obiektu naszych bada\u0144 na mniejsze cz\u0119\u015bci, tj. piksele<\/em>. S\u0105 one ma\u0142ymi kwadratami. W przypadku tr\u00f3jwymiarowym mieliby\u015bmy sze\u015bciany zwane wokselami<\/em>.<\/p>\n

\"metoda<\/p>\n

Traktujemy ka\u017cdy piksel tak jakby sk\u0142ada\u0142 si\u0119 z jednorodnego materia\u0142u. Jest to przybli\u017cenie, ale dzi\u0119ki niemu jeste\u015bmy w stanie otrzyma\u0107 przybli\u017cony obraz wn\u0119trza obiektu.<\/p>\n

Wiemy ju\u017c, \u017ce z ka\u017cdym promieniem przechodz\u0105cym przez obiekt jeste\u015bmy w stanie stowarzyszy\u0107 r\u00f3wnanie liniowe. Na\u015bwietlanie go promieniami pod r\u00f3\u017cnymi k\u0105tami prowadzi do uk\u0142adu r\u00f3wna\u0144.<\/p>\n

\"algorytm<\/p>\n

Niewiadomymi s\u0105 wsp\u00f3\u0142czynniki absorpcji wszystkich pikseli. Drog\u0119 pokonan\u0105 przez dany promie\u0144 w ka\u017cdym pikselu jeste\u015bmy w stanie wyliczy\u0107 znaj\u0105c k\u0105t oraz punkt wyemitowania. Im lepsz\u0105 chcemy otrzyma\u0107 dok\u0142adno\u015b\u0107, tym na wi\u0119cej pikseli powinni\u015bmy podzieli\u0107 nasz obiekt.<\/p>\n

Otrzymanie zadowalaj\u0105cej rozdzielczo\u015bci wi\u0105\u017ce si\u0119 z rozwi\u0105zaniem sporego uk\u0142adu r\u00f3wna\u0144. Pierwsze tomografy pozwala\u0142y obrazowa\u0107 przekroje m\u00f3zgu przy rozdzielczo\u015bci 80\\(\\times\\)80 pikseli. Tak otrzymany uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 ma 1600 niewiadomych. Pocieszaj\u0105ce mo\u017ce by\u0107, \u017ce znaczna cz\u0119\u015b\u0107 promieni przechodzi jedynie przez znikom\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 pikseli. Dzi\u0119ki temu tak otrzymany uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 ma wiele wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w r\u00f3wnych 0.<\/p>\n

Oczywi\u015bcie to tylko matematyczna idea, od kt\u00f3rej cz\u0119sto wszystko si\u0119 zaczyna i w kt\u00f3rej wiele obiekt\u00f3w jest wyidealizowanych. W przypadku zastosowa\u0144 cz\u0119sto nale\u017cy si\u0119 zmierzy\u0107 jeszcze z napotykanymi problemami praktycznymi.<\/p>\n

Tylko jak taki uk\u0142ad rozwi\u0105za\u0107? Z matematycznego punktu widzenia o uk\u0142adach r\u00f3wna\u0144 liniowych wiemy wszystko. Maj\u0105c jakikolwiek uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 liniowych znamy metody pozwalaj\u0105ce stwierdzi\u0107 czy taki uk\u0142ad ma w og\u00f3le jakiekolwiek rozwi\u0105zanie. A je\u017celi ma, to w pe\u0142ni opisa\u0107 zbi\u00f3r jego rozwi\u0105za\u0144. Podstawowe metody, kt\u00f3rych uczymy si\u0119 w szkole oraz na studiach, maj\u0105 jedn\u0105 wad\u0119. Kompletnie nie nadaj\u0105 si\u0119 do rozwi\u0105zywania du\u017cych uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 nawet przy u\u017cyciu komputer\u00f3w. Du\u017ce uk\u0142ady pojawiaj\u0105 si\u0119 w wielu zagadnieniach praktycznych, opr\u00f3cz tomografii, np. w modelach prognozy pogody. Dlatego tak wa\u017cne jest aby\u015bmy, jako ca\u0142a ludzko\u015b\u0107, potrafili ulepsza\u0107 znane i wymy\u015bla\u0107 nowe, efektywniejsze metody ich rozwi\u0105zywania. Zanim opiszemy na czym polega metoda Kaczmarza, musimy sobie przypomnie\u0107 kilka informacji o uk\u0142adach r\u00f3wna\u0144 liniowych.<\/p>\n

Ze szko\u0142y wiemy, \u017ce uk\u0142ad dwu r\u00f3wna\u0144 z dwiema niewiadomymi opisuje dwie proste w uk\u0142adzie wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych. Lub jedn\u0105, je\u015bli oba r\u00f3wnania opisuj\u0105 t\u0119 sam\u0105 prost\u0105. Gdy takie proste si\u0119 przecinaj\u0105, to wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne punktu przeci\u0119cia s\u0105 rozwi\u0105zaniem. Mo\u017ce si\u0119 r\u00f3wnie\u017c zdarzy\u0107, \u017ce proste nie maj\u0105 punkt\u00f3w wsp\u00f3lnych. W\u00f3wczas uk\u0142ad jest sprzeczny. Trzeci\u0105 mo\u017cliwo\u015bci\u0105 jest ta gdy r\u00f3wnania opisuj\u0105 t\u0119 sam\u0105 prost\u0105. Taki uk\u0142ad ma niesko\u0144czenie wiele rozwi\u0105za\u0144.<\/p>\n

Ciekawiej to wygl\u0105da, gdy mamy uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 z trzema niewiadomymi. Ka\u017cde takie r\u00f3wnanie opisuje pewn\u0105 p\u0142aszczyzn\u0119 zanurzon\u0105 w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej. Je\u017celi uk\u0142ad ma jedno rozwi\u0105zanie, to p\u0142aszczyzny opisane jego r\u00f3wnaniami przecinaj\u0105 si\u0119 w dok\u0142adnie jednym punkcie.<\/p>\n

\"uk\u0142ad<\/p>\n

P\u0142aszczyzny mog\u0105 si\u0119 r\u00f3wnie\u017c przecina\u0107 wzd\u0142u\u017c prostej.<\/p>\n

\"uk\u0142ady<\/p>\n

Podobnie mog\u0105 w og\u00f3le nie mie\u0107 punkt\u00f3w wsp\u00f3lnych jak i wszystkie r\u00f3wnania mog\u0105 opisywa\u0107 t\u0119 sam\u0105 p\u0142aszczyzn\u0119. Zatem, z geometrycznego punktu widzenia, zbi\u00f3r rozwi\u0105za\u0144 uk\u0142adu r\u00f3wna\u0144 liniowych z trzema niewiadomymi mo\u017ce by\u0107 zbiorem pustym, punktem, prost\u0105 b\u0105d\u017a p\u0142aszczyzn\u0105.<\/p>\n

Gdy r\u00f3wnanie liniowe ma \\(n\\) niewiadomych, to opisuje \\((n-1)\\)-wymiarow\u0105 przestrze\u0144 zanurzon\u0105 w \\(n\\)-wymiarowej (matematycy by powiedzieli \\((n-1)\\)-wymiarow\u0105 hiperp\u0142aszczyzn\u0119<\/em>).<\/p>\n

Metoda Kaczmarza jest algorytmem, kt\u00f3ry z uk\u0142adem r\u00f3wna\u0144 liniowych stowarzysza ci\u0105g jego \\((K_n)\\) przybli\u017conych rozwi\u0105za\u0144. Je\u017celi uk\u0142ad jest niesprzeczny, to ci\u0105g ten jest zbie\u017cny do jednego z rozwi\u0105za\u0144.<\/p>\n

Idea jest bardzo prosta. Na pocz\u0105tek wybieramy dowolny punkt \\(K_1\\) przestrzeni, w kt\u00f3rej s\u0105 zanurzone hiperp\u0142aszczyzny opisane r\u00f3wnaniami uk\u0142adu. Nast\u0119pnie rzutujemy ten punkt prostopadle na hiperp\u0142aszczyzn\u0119 \\(\\Pi_1\\) opisan\u0105 pierwszym r\u00f3wnaniem. Otrzymany punkt rzutujemy prostopadle na hiperp\u0142aszczyzn\u0119 \\(\\Pi_2\\) opisan\u0105 drugim r\u00f3wnaniem itd. Gdy dojdziemy do hiperp\u0142aszczyzny opisanej ostatnim r\u00f3wnaniem, to rzutujemy znowu na t\u0119 opisan\u0105 pierwszym.<\/p>\n

W przypadku uk\u0142adu dwu r\u00f3wna\u0144 z dwiema niewiadomymi ow\u0105 zbie\u017cno\u015b\u0107 ci\u0105gu \\((K_n)\\) \u0142atwo zobrazowa\u0107. Aczkolwiek rozwi\u0105zywanie takiego uk\u0142adu algorytmem Kaczmarza jest niezbyt optymalne.
\n\"Metoda<\/p>\n

Metoda Kaczmarza sw\u0105 praktyczn\u0105 u\u017cyteczno\u015b\u0107 zawdzi\u0119cza temu, \u017ce maj\u0105c \\(K_n\\) jeste\u015bmy w stanie \u0142atwo wyznaczy\u0107 \\(K_{n+1}\\) korzystaj\u0105c ze wzoru \\[K_{n+1}=K_n-\\dfrac{\\textbf{a}_i\\circ K_n-b_i}{||\\textbf{a}_i||^2}\\cdot\\textbf{a}_i,\\]
\ngdzie \\(i=k\\mod m\\) (oczywi\u015bcie \\(m\\) jest liczb\u0105 r\u00f3wna\u0144). Wyprowadzenie tego wzoru oraz dow\u00f3d poprawno\u015bci algorytmu Kaczmarza, na ko\u0144cu.<\/p>\n

Jak ju\u017c wspomnieli\u015bmy, algorytm Kaczmarza zosta\u0142 szybko zast\u0105piony przez wydajniejsze metody otrzymywania tomogram\u00f3w oparte na wynikach Radona oraz Cormacka (tu nie chodzi\u0142o o uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144). Jednak\u017ce dzi\u0119ki swej prostocie i ulepszeniom nadal znajduje zastosowanie.<\/p>\n

Jest to r\u00f3wnie\u017c przyk\u0142ad tego, \u017ce warto si\u0119 zajmowa\u0107 rzeczami, kt\u00f3re z pozoru wydaj\u0105 si\u0119 niezbyt potrzebne. Zar\u00f3wno Kaczmarz jak i Radon w swych pracach nie podawali \u017cadnych zastosowa\u0144. Swoj\u0105 drog\u0105 praca Kaczmarza przez d\u0142ugi czas nie wzbudza\u0142a zbyt wielkiego zainteresowania matematyk\u00f3w. Pierwsze jej cytowanie pojawi\u0142o si\u0119 najprawdopodobniej dopiero w 1948 roku. Cho\u0107 spory wp\u0142yw na to mog\u0142a mie\u0107 II wojna \u015bwiatowa, kt\u00f3rej zreszt\u0105 Kaczmarz nie prze\u017cy\u0142. Okoliczno\u015bci jego \u015bmierci nie s\u0105 znane, ale wiele wskazuje na to, \u017ce po napa\u015bci Niemiec na Polsk\u0119 zgin\u0105\u0142 ju\u017c w pierwszych dniach wojny podczas bombardowania Niska<\/a>. Z czasem praca Kaczmarza zosta\u0142a doceniona i doczeka\u0142a si\u0119 ju\u017c ponad tysi\u0105ca cytowa\u0144.<\/p>\n

Wart\u0105 odnotowania ciekawostk\u0105 o Kaczmarzu jest to, \u017ce by\u0142 r\u00f3wnie\u017c nauczycielem w szkole \u015bredniej. Mimo posiadania stopnia dr. habilitowanego musia\u0142 zda\u0107 egzamin aby m\u00f3c naucza\u0107 w szkole. W komisji egzaminacyjnej zasiad\u0142 m.in. sam Stefan Banach. Wi\u0119cej szczeg\u00f3\u0142\u00f3w (m.in. ciekawe pytania egzaminacyjne) mo\u017cna znale\u017a\u0107 tutaj<\/a>.<\/p>\n

Zanim przejdziemy do dowodu metody Kaczmarza sp\u00f3jrzmy jak wygl\u0105da\u0142y jedne z pierwszych tomogram\u00f3w.<\/p>\n

\"tomogram
\u0179r\u00f3d\u0142o: Computerized transverse axial scanning (tomography). Part 2. Clinical application<\/figcaption><\/figure>\n

Rezultat mo\u017ce nie jest osza\u0142amiaj\u0105cy, lecz m\u00f3wimy o pocz\u0105tku lat siedemdziesi\u0105tych ubieg\u0142ego wieku. W\u00f3wczas by\u0142 to ogromny post\u0119p.<\/p>\n

Metoda Kaczmarza – dow\u00f3d<\/h4>\n

Udowodnimy teraz, \u017ce ci\u0105g punkt\u00f3w \\((K_n)\\) otrzymany przy u\u017cyciu metody Kaczmarza rzeczywi\u015bcie d\u0105\u017cy do rozwi\u0105zania, o ile wyj\u015bciowy uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 jest niesprzeczny.<\/p>\n

Niech uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 liniowych (maj\u0105cy \\(N\\) niewiadomych)\\[\\textbf{a}_i\\circ\\textbf{x}=b_i,\\]
\ngdzie \\(i\\in\\{1,\\ldots,m\\}\\), b\u0119dzie niesprzeczny, a \\(G\\in\\mathbb{R}^N\\) jego dowolnym rozwi\u0105zaniem. Przez \\(\\Pi_i\\) oznaczmy hiperp\u0142aszczyzn\u0119 w \\(\\mathbb{R}^N\\) opisan\u0105 r\u00f3wnaniem \\[\\textbf{a}_i\\circ\\textbf{x}=b_i\\text{ dla }i\\in\\{1,\\ldots,m\\}.\\]<\/p>\n

Z kontrukcji ci\u0105gu \\((K_n)\\) oraz twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy \\[|GK_{n+1}|^2+|K_nK_{n+1}|^2=|GK_n|^2.\\]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

St\u0105d \\[|GK_n|\\geqslant |GK_{n+1}|,\\]
\na wi\u0119c ci\u0105g \\((|GK_n|)\\) jest nieujemny oraz nierosn\u0105cy czyli ograniczony. Jako ci\u0105g monotoniczny oraz ograniczony, jest zbie\u017cny. Z tego wynika, \u017ce \\((K_n)\\) jest ograniczony. Na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa<\/a> zawiera podci\u0105g zbie\u017cny \\((K_{n_j})\\). Oznaczmy przez \\(G_0\\) jego granic\u0119.<\/p>\n

Poniewa\u017c wyj\u015bciowy uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 opisuje sko\u0144czenie wiele hiperp\u0142aszczyzn w \\(\\mathbb{R}^N\\), to istnieje takie \\(i\\in\\{1,\\ldots,m\\}\\), \u017ce niesko\u0144czenie wiele wyraz\u00f3w ci\u0105gu \\((K_{n_j})\\) le\u017cy na hiperp\u0142aszczy\u017anie \\(\\Pi_i\\), kt\u00f3ra jest zbiorem domkni\u0119tym w \\(\\mathbb{R}^N\\). Zatem \\(G_0\\in\\Pi_i\\).<\/p>\n

Z tego, \u017ce \\(|GK_{n+1}|^2+|K_nK_{n+1}|^2=|GK_n|^2\\) oraz ze zbie\u017cno\u015bci ci\u0105gu \\((|GK_n|)\\) mamy \\[\\lim\\limits_{n\\to\\infty}|K_{n+1}K_n|=0.\\] St\u0105d oraz z tego, \u017ce \\((K_{n_j})\\) jest zbie\u017cny wynika, \u017ce \\((K_{n_j+1})\\) r\u00f3wnie\u017c jest zbie\u017cny.<\/p>\n

Ale \\(K_{n_j+1}\\in\\Pi_{i+1}\\) gdy \\(m>i\\) oraz \\(K_{n_j+1}\\in\\Pi_1\\) dla \\(i=m\\).<\/p>\n

Zatem \\(G_0\\in\\Pi_{i+1}\\) lub \\(G_0\\in\\Pi_1\\) w zale\u017cno\u015bci od \\(i\\). Dostajemy wi\u0119c, \u017ce \\(G_0\\in\\Pi_i\\) dla ka\u017cdego \\(i\\in\\{1,\\ldots,m\\}\\), czyli jest to rozwi\u0105zanie uk\u0142adu.<\/p>\n

Przypomnijmy, \u017ce ci\u0105g \\((|GK_n|)\\) jest zbie\u017cny dla dowolnego rozwi\u0105zania \\(G\\) uk\u0142adu. W szczeg\u00f3lno\u015bci dla \\(G=G_0\\) mamy
\n\\[|GK_{n_j}|\\to 0,\\]
\na st\u0105d \\(K_n\\to G_0\\).<\/p>\n

Rzut punktu na hiperp\u0142aszczyzn\u0119 – wyprowadzenie wzoru<\/h4>\n

Jak wspomnieli\u015bmy wcze\u015bniej, praktyczna u\u017cyteczno\u015b\u0107 metody Kaczmarza wynika tego, \u017ce \u0142atwo opisa\u0107 wzorem rzut punktu \\(
\n\\textbf{p}\\in\\mathbb R^n\\) na hiperp\u0142aszczyzn\u0119 \\(\\Pi\\subset\\mathbb R^n\\) opisan\u0105 r\u00f3wnaniem \\[\\textbf{a}\\circ\\textbf{x}=b\\] dla pewnych \\(\\textbf{a}\\in\\mathbb R^n\\) oraz \\(b\\in\\mathbb R\\).<\/p>\n

\nWektor \\(\\textbf{a}\\) jest prostopad\u0142y do p\u0142aszczyzny \\(\\Pi\\). Poniewa\u017c rzutujemy \\(\\textbf{p}\\) prostopadle na \\(\\Pi\\), to wektor \\(\\textbf{p}-\\textbf{p}_0\\), gdzie \\(\\textbf{p}_0\\) jest szukanym rzutem, jest r\u00f3wnoleg\u0142y do \\(\\textbf{a}\\). Lub r\u00f3wny \\(\\textbf{0}\\), gdy \\(\\textbf{p}\\in\\Pi\\). Czyli\\[\\textbf{p}-\\textbf{p}_0=\\lambda\\textbf{a}\\]
\ndla pewnego \\(\\lambda\\in\\mathbb R\\). Poniewa\u017c \\[\\textbf{p}_0=\\textbf{p}-(\\textbf{p}-\\textbf{p}_0),\\] to \\[\\textbf{p}_0=\\textbf{p}-\\lambda\\textbf{a}.\\] Ale \\(\\textbf{p}_0\\in\\Pi\\), wi\u0119c \\[b=\\textbf{a}\\circ\\textbf{p}_0=\\textbf{a}\\circ (\\textbf{p}-\\lambda\\textbf{a})=\\textbf{a}\\circ\\textbf{p}-\\lambda||\\textbf{a}||^2.\\] St\u0105d otrzymujemy<\/p>\n

\\[\\lambda=\\dfrac{\\textbf{a}\\circ\\textbf{p}-b}{||\\textbf{a}||^2}.\\]<\/p>\n

Zatem \\[\\textbf{p}_0=\\textbf{p}-\\dfrac{\\textbf{a}\\circ\\textbf{p}-b}{||\\textbf{a}||^2}\\cdot\\textbf{a}.\\]<\/p>\n

Na koniec literatura oraz pozycje, kt\u00f3re okaza\u0142y si\u0119 pomocne przy tworzeniu tego tekstu. Za ni\u0105 natomiast tre\u015b\u0107 oryginalnego artyku\u0142u Kaczmarza.<\/p>\n

Literatura<\/h3>\n

S. Kaczmarz<\/strong>, Przybli\u017cone rozwi\u0105zywanie uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 liniowych – Angen\u00e4herte Aufl\u00f6sung von Systemen linearer Gleichungen<\/em>, Bull. Int. Acad. Polon. Sci., Cl. Sci. Math., Ser. A, Sci. Nat. (1937), s. 22 – 24
\nA. Cegielski<\/strong> Bibliografia zwi\u0105zana z prac\u0105 Kaczmarza<\/a>
\nA. Cormack<\/strong>, Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications<\/em>, J. Appl. Phys. 34 (1963), s. 2722 – 2727
\nG. Hounsfield<\/strong>, Computerized transverse axial scanning (tomography). Part I. Description of system<\/em>, Br J Radiol 46 (1973), s. 1016 – 1022
\nJ. Ambrose<\/strong>, Computerized transverse axial scanning (tomography). Part 2. Clinical application<\/em>, Br J Radiol. (46) 1973, s. 1023-1047
\nT.G. Feeman<\/strong>, The Mathematics of Medical Imaging<\/em>, Springer (2015)
\nR. Gabor, R. Bender, G.T. Herman<\/strong>, Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography<\/em>, J. Theor. Biol. 29 (1970), s. 471\u2013481
\nA. Markoe<\/strong>, Analytic Tomography<\/em>, Cambridge Univ. Press (2006)
\nJ. Radon<\/strong>, \u00dcber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte l\u00e4ngs gewisser Mannigfaltigkeiten<\/em>, Ber. Verh. S\u00e4che. Akad. Wiss. 69 (1917), s. 262\u2013277
\n
\n\"metoda<\/p>\n

\"Algorytm<\/p>\n

\"metoda
Przybli\u017cone rozwi\u0105zywanie uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 liniowych – Angen\u00e4herte Aufl\u00f6sung von Systemen linearer Gleichungen<\/figcaption><\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

R\u00f3wnania liniowe oraz uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych s\u0105 jedn\u0105 z tych rzeczy, kt\u00f3rych musimy si\u0119 uczy\u0107 w szkole. Nieraz si\u0119 pewnie zastanawiaj\u0105c po co to komu potrzebne? To, \u017ce umiemy i ca\u0142y czas udoskonalamy metody rozwi\u0105zywania<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":150,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[18,19,43],"tags":[38,40,44],"yoast_head":"\nMetoda Kaczmarza<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Czy umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 mo\u017ce si\u0119 do czego\u015b przyda\u0107? Dzi\u0119ki temu, \u017ce potrafimy je sprawnie rozwi\u0105zywa\u0107 powsta\u0142 tomograf komputerowy. A pomog\u0142a w tym metoda Kaczmarza.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/\" \/>\n<link rel=\"next\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/2\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Metoda Kaczmarza\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Czy umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 mo\u017ce si\u0119 do czego\u015b przyda\u0107? Dzi\u0119ki temu, \u017ce potrafimy je sprawnie rozwi\u0105zywa\u0107 powsta\u0142 tomograf komputerowy. A pomog\u0142a w tym metoda Kaczmarza.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-03-17T21:59:29+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-10-28T23:21:44+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"863\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"513\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"12 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Tomografia komputerowa a uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144. Metoda Kaczmarza.\",\"datePublished\":\"2021-03-17T21:59:29+00:00\",\"dateModified\":\"2024-10-28T23:21:44+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/\"},\"wordCount\":3031,\"commentCount\":3,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png\",\"keywords\":[\"Metoda Kaczmarza\",\"Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144\",\"Zastosowania matematyki\"],\"articleSection\":[\"Metoda Kaczmarza\",\"Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144\",\"Zastosowania matematyki\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/\",\"name\":\"Metoda Kaczmarza\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png\",\"datePublished\":\"2021-03-17T21:59:29+00:00\",\"dateModified\":\"2024-10-28T23:21:44+00:00\",\"description\":\"Czy umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 mo\u017ce si\u0119 do czego\u015b przyda\u0107? Dzi\u0119ki temu, \u017ce potrafimy je sprawnie rozwi\u0105zywa\u0107 powsta\u0142 tomograf komputerowy. A pomog\u0142a w tym metoda Kaczmarza.\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png\",\"width\":863,\"height\":513,\"caption\":\"Computerized transverse axial scanning (tomography). Part 2. Clinical application\"},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Metoda Kaczmarza","description":"Czy umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 mo\u017ce si\u0119 do czego\u015b przyda\u0107? Dzi\u0119ki temu, \u017ce potrafimy je sprawnie rozwi\u0105zywa\u0107 powsta\u0142 tomograf komputerowy. A pomog\u0142a w tym metoda Kaczmarza.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/","next":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/2\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Metoda Kaczmarza","og_description":"Czy umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 mo\u017ce si\u0119 do czego\u015b przyda\u0107? Dzi\u0119ki temu, \u017ce potrafimy je sprawnie rozwi\u0105zywa\u0107 powsta\u0142 tomograf komputerowy. A pomog\u0142a w tym metoda Kaczmarza.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-03-17T21:59:29+00:00","article_modified_time":"2024-10-28T23:21:44+00:00","og_image":[{"width":863,"height":513,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"12 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Tomografia komputerowa a uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144. Metoda Kaczmarza.","datePublished":"2021-03-17T21:59:29+00:00","dateModified":"2024-10-28T23:21:44+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/"},"wordCount":3031,"commentCount":3,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png","keywords":["Metoda Kaczmarza","Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144","Zastosowania matematyki"],"articleSection":["Metoda Kaczmarza","Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144","Zastosowania matematyki"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/","name":"Metoda Kaczmarza","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png","datePublished":"2021-03-17T21:59:29+00:00","dateModified":"2024-10-28T23:21:44+00:00","description":"Czy umiej\u0119tno\u015b\u0107 rozwi\u0105zywania uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 mo\u017ce si\u0119 do czego\u015b przyda\u0107? Dzi\u0119ki temu, \u017ce potrafimy je sprawnie rozwi\u0105zywa\u0107 powsta\u0142 tomograf komputerowy. A pomog\u0142a w tym metoda Kaczmarza.","inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/03\/17\/metoda-kaczmarza\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/ct_skan3.png","width":863,"height":513,"caption":"Computerized transverse axial scanning (tomography). Part 2. Clinical application"},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/124"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=124"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/124\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2557,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/124\/revisions\/2557"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/150"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=124"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=124"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=124"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}