ilo\u015b\u0107 liczb podzielnych jednocze\u015bnie przez 3 oraz 5 (tj. \\(|X_3\\cap X_5|\\)).<\/li>\n<\/ul>\n\nCzy to ju\u017c koniec? Oczywi\u015bcie, \u017ce nie! Bo co trzeba zrobi\u0107 z liczbami podzielnymi jednocze\u015bnie przez 2, 3 oraz 5? Sp\u00f3jrzmy na poni\u017cszy rysunek. Zobrazowano na nim zbiory \\(X_2, X_3, X_5\\) (oznaczone stosownymi liczbami).<\/p>\n
![\"zasada](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_001.png\")
<\/p>\n
\nDodaj\u0105c \\(|X_2|+|X_3|+|X_5|\\) dwukrotnie, nazwijmy to, w\u0142\u0105czamy<\/em> elementy zbior\u00f3w \\(X_2\\cap X_3, X_2\\cap X_5\\) oraz \\(X_3\\cap X_5\\), bo np. zbi\u00f3r \\(X_2\\cap X_3\\) jest zawarty zar\u00f3wno w \\(X_2\\) jak i w \\(X_3\\) itd.<\/p>\n\nMusimy wi\u0119c odj\u0105\u0107 sum\u0119 \\(|X_2\\cap X_3|+|X_2\\cap X_5|+|X_3\\cap X_5|\\). W tym momencie, to co nale\u017cy do tylko jednego zbioru (zaznaczone kolorami innymi ni\u017c bia\u0142y) zosta\u0142o w\u0142\u0105czone raz.<\/p>\n
![\"regu\u0142a](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_002.png\")
<\/p>\n
\nPodobnie to co nale\u017cy do dok\u0142adnie dwu zbior\u00f3w zosta\u0142o w\u0142\u0105czone dok\u0142adnie raz.<\/p>\n
![\"w\u0142\u0105czenia](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_004.png\")
<\/p>\n
\nPozostaje cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3lna wszystkich trzech zbior\u00f3w. Zosta\u0142a ona najpierw w\u0142\u0105czona trzykrotnie, gdy dodawali\u015bmy \\(|X_2|+|X_3|+|X_5|\\). Nast\u0119pnie zosta\u0142a trzykrotnie, nazwijmy to, wy\u0142\u0105czona<\/em>, gdy odj\u0119li\u015bmy \\(|X_2\\cap X_3|+|X_2\\cap X_5|+|X_3\\cap X_5|\\). Czyli aby otrzyma\u0107 ostateczn\u0105 odpowied\u017a musimy jeszcze doda\u0107 \\(|X_2\\cap X_3\\cap X_5|\\).<\/p>\n\nDostali\u015bmy nast\u0119puj\u0105c\u0105 zale\u017cno\u015b\u0107 dla trzech dowolnych zbior\u00f3w \\(A, B\\) oraz \\(C\\): \\[|A\\cup B\\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\\cap B|-|A\\cap C|-|B\\cap C|+|A\\cap B\\cap C|.\\] <\/p>\n
\nPoniewa\u017c \\[|X_5|=2000,\\ |X_2\\cap X_5|=|X_{10}|=1000,\\ |X_3\\cap X_5|=|X_{15}|=666\\] oraz \\[|X_2\\cap X_3\\cap X_5|=|X_{30}|=333,\\]
\nto \\[|X_2\\cup X_3\\cup X_5|=7334\\]<\/p>\n
\nOtrzymana zale\u017cno\u015b\u0107 nie jest ju\u017c taka prosta jak wcze\u015bniej. Nie jest te\u017c przesadnie skomplikowana. Sugeruje ona dwie rzeczy. Po pierwsze, \u017ce przy wi\u0119kszej liczbie zbior\u00f3w otrzymamy jeszcze bardziej skomplikowane zale\u017cno\u015bci. A po drugie, \u017ce znalezienie og\u00f3lnej zale\u017cno\u015bci wydaje si\u0119 w zasi\u0119gu. <\/p>\n
\nRozwa\u017cmy teraz sytuacj\u0119 og\u00f3ln\u0105. Mamy \\(n\\) zbior\u00f3w sko\u0144czonych \\[A_1, A_2,\\ldots, A_n,\\] kt\u00f3re niekoniecznie musz\u0105 by\u0107 roz\u0142\u0105czne. Jak obliczy\u0107 liczb\u0119 element\u00f3w ich sumy\\[A_1\\cup A_2\\cup\\ldots\\cup A_n?\\] Znowu zaczniemy od zsumowania \\[|A_1|+|A_2|+\\cdots+|A_n|.\\] Elementy nale\u017c\u0105ce do dok\u0142adnie jednego zbioru zosta\u0142y w\u0142\u0105czone dok\u0142adnie raz. Natomiast nale\u017c\u0105ce do wi\u0119cej ni\u017c jednego zbioru, wielokrotnie. Te nale\u017c\u0105ce do dok\u0142adnie dwu zbior\u00f3w, uwzgl\u0119dnili\u015bmy na tym etapie dwukrotnie. Musimy wi\u0119c je teraz wy\u0142\u0105czy\u0107. Robimy to jak wcze\u015bniej, tzn. odejmujemy liczby \\(|A_i\\cap A_j|\\) dla wszystkich mo\u017cliwych par \\(i\\neq j\\).<\/p>\n
\nKrok ten spowodowa\u0142, \u017ce mamy teraz jednokrotnie uwzgl\u0119dnione elementy nale\u017c\u0105ce do dok\u0142adnie jednego lub dok\u0142adnie dwu zbior\u00f3w. Do tego wy\u0142\u0105czyli\u015bmy pewn\u0105 ilo\u015b\u0107 razy elementy nale\u017c\u0105ce do dok\u0142adnie trzech lub wi\u0119cej zbior\u00f3w.<\/p>\n
\nOg\u00f3lna zale\u017cno\u015b\u0107, tj. zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144<\/strong> wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co:
\n\\[|A_1\\cup A_2\\cup\\ldots\\cup A_n|=\\sum_{1\\leqslant i\\leqslant n}|A_i|-\\sum_{1\\leqslant i\\lt j\\leqslant n}|A_i\\cap A_j|+\\ldots +(-1)^{n-1}|A_1\\cap A_2\\cap\\ldots\\cap A_n|\\]<\/p>\n\nNajpierw w\u0142\u0105czamy wszystkie zbiory \\(A_i\\), potem wy\u0142\u0105czamy wszystkie \\(A_{i_1}\\cap A_{i_2}\\), w\u0142\u0105czamy wszystkie \\(A_{i_1}\\cap A_{i_2}\\cap A_{i_3}\\), wy\u0142\u0105czamy wszystkie \\(A_{i_1}\\cap A_{i_2}\\cap A_{i_3}\\cap A_{i_4}\\) i tak dalej.<\/p>\n
\nTeraz przekonamy si\u0119, \u017ce powy\u017cszy wz\u00f3r istotnie jest prawdziwy. Niech \\(x\\in A_1\\cup A_2\\cup\\ldots\\cup A_n\\) nale\u017cy do dok\u0142adnie \\(k\\) zbior\u00f3w. W\u00f3wczas dodaj\u0105c \\(|A_1|+|A_2|+\\cdots+|A_n|\\) w\u0142\u0105czamy do \\(k\\) razy. Odejmuj\u0105c wszystkie liczby \\(|A_i\\cap A_j|\\) wy\u0142\u0105czamy go tyle razy, ile jest par zbior\u00f3w \\(A_i, A_j\\) do kt\u00f3rych nale\u017cy \\(x\\). Takich par jest naturalnie \\({k\\choose 2}\\). Og\u00f3lnie, je\u017celi \\(m\\leqslant k\\), to dodaj\u0105c wszystkie mo\u017cliwe liczby \\[|A_{i_1}\\cap A_{i_2}\\cap\\ldots\\cap A_{i_m}|\\] element \\(x\\) zostaje w\u0142\u0105czony \\({k\\choose m}\\) razy. Gdy za\u015b \\(m\\gt k\\), to z za\u0142o\u017cenia \\(x\\) nie jest elementem cz\u0119\u015bci wsp\u00f3lnej \\(m\\) zbior\u00f3w. Ostatecznie \\(x\\) zosta\u0142 w\u0142\u0105czony \\[\\sum_{m=1}^k(-1)^m{k\\choose m}={k\\choose 1}-{k\\choose 2}+{k\\choose 3}-\\cdots+(-1)^k{k\\choose k}\\] razy. A poniewa\u017c \\[\\sum_{m=0}^k(-1)^m{k\\choose m}=\\sum_{m=0}^k(-1)^m\\cdot 1^{k-m}\\cdot{k\\choose m}=(1-1)^k=0,\\] to
\n\\[\\sum_{m=1}^k(-1)^m{k\\choose m}=1\\] i zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 zosta\u0142a udowodniona.
\n\\(\\)<\/p>\n
\nUwidacznia si\u0119 jednak pewna wada u\u017cywania tej zasady do rozwi\u0105zywania zada\u0144. Gdy zbior\u00f3w jest wi\u0119cej ni\u017c 3, to liczba oblicze\u0144 jakie musimy wykona\u0107 jest ju\u017c ca\u0142kiem spora. A i nawet w przypadku trzech zbior\u00f3w, jak mogli\u015bmy zobaczy\u0107 w ostatnim zadaniu, wykonanie wszystkich oblicze\u0144 mo\u017ce by\u0107 nieco uci\u0105\u017cliwe. Czasami jednak sytuacja nie jest taka z\u0142a.<\/p>\n
\nJe\u017celi wszystkie zbiory \\(A_{i}\\) maj\u0105 t\u0119 sam\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w, podobnie wszystkie \\(A_{i_1}\\cap A_{i_2}\\) itd., to liczba element\u00f3w zbioru \\(A_1\\cup A_2\\cup\\ldots\\cup A_n\\) jest r\u00f3wna \\[{n\\choose 1}|A_1|-{n\\choose 2}|A_1\\cap A_2|+\\cdots+(-1)^{m-1}{n\\choose m}|A_1\\cap A_2\\cap\\ldots\\cap A_m|+\\cdots \\]
\ntj. \\[|A_1\\cup A_2\\cup\\ldots\\cup A_n|=\\sum_{i=1}^n{n\\choose i}(-1)^{i-1}|A_1\\cap A_2\\cap\\ldots\\cap A_i|\\]<\/p>\n
\nSp\u00f3jrzmy teraz na nast\u0119puj\u0105ce zadanie:<\/p>\n
\nNa ile sposob\u00f3w z talii 52 kart mo\u017cna wybra\u0107 5 kart tak, aby otrzyma\u0107 co najmniej jednego asa, co najmniej jednego kr\u00f3la i co najmniej jedn\u0105 dam\u0119?\n<\/p><\/blockquote>\n
\nGwoli \u015bcis\u0142o\u015bci, m\u00f3wi\u0105c spos\u00f3b<\/em> mamy na my\u015bli 5 kart jako zbi\u00f3r. Nie interesuje nas \u017cadna ich kolejno\u015b\u0107.<\/p>\n\nJedna z pierwszych odpowiedzi jaka przychodzi do g\u0142owy wielu osobom, to \\[4^3\\cdot {49 \\choose 2}=75264.\\] Bo jednego asa, kr\u00f3la oraz dam\u0119 mo\u017cemy na \\(4^3\\) sposob\u00f3w (w standardowej talii kart s\u0105 4 asy, 4 kr\u00f3le i 4 damy). Do tego zostaj\u0105 dwie pozosta\u0142e karty, kt\u00f3re mo\u017cemy ju\u017c wybra\u0107 dowolnie.<\/p>\n
\nNie jest to jednak prawid\u0142owa odpowied\u017a. Pomys\u0142 takiego ,,rozwi\u0105zania” polega na sztucznym rozbiciu zestawu 5 kart na dwie cz\u0119\u015bci – nazwijmy je A oraz B. W cz\u0119\u015bci A znajduje si\u0119 to co musi si\u0119 znajdowa\u0107, czyli as, kr\u00f3l oraz dama. W cz\u0119\u015bci B mamy za\u015b pozosta\u0142e dwie karty. Takie sztuczne rozbicie zbioru kart na dwie cz\u0119\u015bci nie uwzgl\u0119dnia jednej rzeczy. Sp\u00f3jrzmy na przyk\u0142adowe dwa wyniki takiego losowania: \\[A\u2661 K\u2661 D\u2661 – A\u2664 D\u2664\\] oraz \\[A\u2664 K\u2661 D\u2661 – A\u2661 D\u2664\\]<\/p>\n
W obu przypadkach mamy dok\u0142adnie takie same zestawy kart. R\u00f3\u017cnica jest jedynie w po\u0142o\u017ceniu as\u00f3w. Za pierwszym razem as A\u2661 pojawi\u0142 si\u0119 w cz\u0119\u015bci A, za\u015b as A\u2664 w B. W przypadku drugim, asy zamieni\u0142y si\u0119 miejscami. Zestawy kart s\u0105 jednak takie same. Tego w\u0142a\u015bnie nie bierze pod uwag\u0119 taka pr\u00f3ba rozwi\u0105zania. W wylosowanych pi\u0119ciu kartach mog\u0105 znajdowa\u0107 dwa lub nawet trzy asy, kr\u00f3le czy damy.<\/p>\n
\nZnaj\u0105c zasad\u0119 w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 bez trudu powinni\u015bmy dostrzec, \u017ce rozwi\u0105zaniem zadania jest \\[|A\\cup K\\cup D|,\\] gdzie \\(A\\), to zbi\u00f3r tych sposob\u00f3w na jakie mo\u017cna wybra\u0107 5 kart, aby by\u0142 co najmniej jeden as. Podobnie \\(K\\), to sposoby z kr\u00f3lem, a \\(D\\) z dam\u0105. Co wi\u0119cej, zbiory te maj\u0105 dok\u0142adnie po tyle samo element\u00f3w, bo w talii mamy po 4 asy, kr\u00f3le oraz damy. R\u00f3wnie\u017c zbiory \\(A\\cap K, A\\cap D\\) oraz \\(K\\cap D\\) maj\u0105 te same liczby element\u00f3w. Tylko czy obliczenie \\(|A|, |A\\cap K|\\) oraz \\(|A\\cap K\\cap D|\\) jest aby na pewno takie \u0142atwe?<\/p>\n
\nZnacznie \u0142atwiej jest policzy\u0107 ilo\u015b\u0107 wybor\u00f3w 5 kart z talii nie zawieraj\u0105cych asa ni\u017c zawieraj\u0105cych. Podobnie w przypadku wybor\u00f3w nie zawieraj\u0105cych ani asa ani kr\u00f3la oraz tych nie zawieraj\u0105cych ani asa ani kr\u00f3la ani damy.<\/p>\n
\nPi\u0119\u0107 kart, w\u015br\u00f3d kt\u00f3rych nie ma ani jednego asa jeste\u015bmy w stanie wybra\u0107 na \\({48\\choose 5}\\) sposob\u00f3w. Tak aby nie by\u0142o \u017cadnego asa oraz \u017cadnego kr\u00f3la na \\({44\\choose 5}\\), a aby nie by\u0142o ani asa ani kr\u00f3la ani damy na \\({40\\choose 5}\\) sposob\u00f3w. Wobec tego, zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 m\u00f3wi nam, \u017ce sposob\u00f3w wylosowania pi\u0119ciu kart nie spe\u0142niaj\u0105cych warunk\u00f3w zadania jest \\[3\\cdot{48\\choose 4}-3\\cdot {44\\choose 4}+{40\\choose 4}.\\] Zatem ostateczna odpowied\u017a, to \\[{52\\choose 5}-3\\cdot{48\\choose 4}+3\\cdot {44\\choose 4}-{40\\choose 4}=62 064.\\]<\/p>\n
\nCiekawym zastosowaniem zasady w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 jest problem liczenia tzw. nieporz\u0105dk\u00f3w<\/em>, tj. permutacji nie maj\u0105cych punkt\u00f3w sta\u0142ych czyli takich punkt\u00f3w, \u017ce \\(\\pi(i)=i\\). M\u00f3wi\u0105c mniej matematycznie, je\u017celi wyci\u0105gamy po kolei wszystkie karty z talli staraj\u0105c si\u0119 zgadn\u0105\u0107 ka\u017cd\u0105 po kolei, to sytuacja, gdy ani razu nie zgadniemy karty jest przyk\u0142adem nieporz\u0105dku.<\/p>\n\nNiech \\(\\mathcal P_i\\) oznacza zbi\u00f3r permutacji \\(\\pi\\) zbioru \\(\\{1,2,\\ldots,n\\}\\) takich, \u017ce \\(\\pi(i)=i\\). W\u00f3wczas liczba nieporz\u0105dk\u00f3w jest r\u00f3wna \\[n!-\\left|\\bigcup_{i=1}^n\\mathcal P_i\\right|.\\] A\u017c korci aby skorzysta\u0107 tutaj z zasady w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144. Tym bardziej, \u017ce jak nietrudno si\u0119 przekona\u0107, prawdziwa jest r\u00f3wno\u015b\u0107 \\[|\\mathcal P_{i_1}\\cap\\mathcal P_{i_2}\\cap\\ldots\\cap\\mathcal P_{i_k}|=(n-k)!\\] Bo gdy \\(\\pi(i_1)=i_1,\\pi(i_2)=i_2,\\ldots,\\pi(i_k)=i_k\\) oraz \\(j\\notin \\{i_1,i_2,\\ldots,i_k\\}\\), to \\(\\pi(j)\\) mo\u017ce mie\u0107 dowoln\u0105 warto\u015b\u0107 r\u00f3\u017cn\u0105 od \\(i_1,i_2,\\ldots,i_k\\). Innymi s\u0142owy, zbi\u00f3r \\(\\mathcal P_{i_1}\\cap\\mathcal P_{i_2}\\cap\\ldots\\cap\\mathcal P_{i_k}\\) ma tak\u0105 sam\u0105 liczb\u0119 element\u00f3w co zbi\u00f3r permutacji zbioru \\((n-k)\\)-elementowego.<\/p>\n
\nWobec tego \\[\\left|\\bigcup_{i=1}^n\\mathcal P_i\\right|=\\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}{n\\choose i}(n-i)!=n!\\sum_{i=1}^n\\dfrac{(-1)^{i+1}}{i!}\\] a zatem liczba nieporz\u0105dk\u00f3w \\(D(n)\\) zbioru \\(n\\)-elementowego jest r\u00f3wna
\n\\[\\begin{array}{lll}D(n)=n!-n!\\sum\\limits_{i=1}^n\\frac{(-1)^{i+1}}{i!} & = & n! – n! +n!(\\frac{1}{2!}-\\frac{1}{3!}+\\cdots +\\frac{(-1)^n}{n!})\\\\ & = & n!\\sum\\limits_{i=0}^n\\frac{(-1)^{i}}{i!}\\end{array}
\n\\]<\/p>\n
\nWz\u00f3r na liczb\u0119 nieporz\u0105dk\u00f3w mo\u017cemy zapisa\u0107 w bardziej eleganckiej, a zarazem nieco zaskakuj\u0105cej, formie. \\[D(n)=\\left[\\dfrac{n!}{e}\\right],\\] gdzie \\(e\\), to s\u0142ynna matematyczna sta\u0142a<\/a> b\u0119d\u0105ca m.in. podstaw\u0105 logarytmu naturalnego. Za\u015b \\([x]\\) oznacza liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105 najbli\u017csz\u0105 liczbie \\(x\\). Poniewa\u017c liczba \\(e\\) jest niewymierna, to \\(n!\\cdot e^{-1}\\) na pewno nie jest sum\u0105 liczby ca\u0142kowitej i \\(0,5\\). Wobec czego powy\u017cszy wz\u00f3r jednoznacznie okre\u015bla pewn\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105.<\/p>\n\nWz\u00f3r ten wynika z tego, \u017ce \\[e^{-1}=\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n!}\\] oraz \\[\\left[n!e^{-1}-D(n)\\right]=n!\\left|\\sum_{i=n+1}^\\infty\\frac{(-1)^i}{i!}\\right|\\lt \\frac{n!}{(n+1)!}=\\frac{1}{n+1}\\leqslant\\frac{1}{2}\\]<\/p>\n
\n
\n
\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Zdarza si\u0119 w zadaniach kombinatorycznych (i nie tylko), \u017ce chcemy policzy\u0107 liczb\u0119 element\u00f3w zbioru, kt\u00f3ry jest sum\u0105 innych (niekoniecznie roz\u0142\u0105cznych) zbior\u00f3w. W takiej sytuacji przydaje si\u0119 zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1333,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[56,57,49],"tags":[],"yoast_head":"\n
Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 przydaje si\u0119 w niekt\u00f3rych, trudniejszych, zadaniach kombinatorycznych.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 przydaje si\u0119 w niekt\u00f3rych, trudniejszych, zadaniach kombinatorycznych.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-12-09T21:04:41+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-06-04T22:29:41+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"917\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"270\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"12 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych\",\"datePublished\":\"2021-12-09T21:04:41+00:00\",\"dateModified\":\"2022-06-04T22:29:41+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/\"},\"wordCount\":2447,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png\",\"articleSection\":[\"Kombinatoryka\",\"Matematyka szkolna\",\"Matematyka teoretyczna\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/\",\"name\":\"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png\",\"datePublished\":\"2021-12-09T21:04:41+00:00\",\"dateModified\":\"2022-06-04T22:29:41+00:00\",\"description\":\"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 przydaje si\u0119 w niekt\u00f3rych, trudniejszych, zadaniach kombinatorycznych.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png\",\"width\":917,\"height\":270,\"caption\":\"zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych","description":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 przydaje si\u0119 w niekt\u00f3rych, trudniejszych, zadaniach kombinatorycznych.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych","og_description":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 przydaje si\u0119 w niekt\u00f3rych, trudniejszych, zadaniach kombinatorycznych.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-12-09T21:04:41+00:00","article_modified_time":"2022-06-04T22:29:41+00:00","og_image":[{"width":917,"height":270,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"12 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych","datePublished":"2021-12-09T21:04:41+00:00","dateModified":"2022-06-04T22:29:41+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/"},"wordCount":2447,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png","articleSection":["Kombinatoryka","Matematyka szkolna","Matematyka teoretyczna"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/","name":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png","datePublished":"2021-12-09T21:04:41+00:00","dateModified":"2022-06-04T22:29:41+00:00","description":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 przydaje si\u0119 w niekt\u00f3rych, trudniejszych, zadaniach kombinatorycznych.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_005.png","width":917,"height":270,"caption":"zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/12\/09\/zasada-wlaczen-i-wylaczen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Zasada w\u0142\u0105cze\u0144 i wy\u0142\u0105cze\u0144 w zadaniach kombinatorycznych"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1220"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1220"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1220\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1475,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1220\/revisions\/1475"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1333"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1220"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1220"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1220"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
![\"regu\u0142a](\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/WL_WYL_003.png\")
<\/p>\n