{"id":1136,"date":"2021-10-31T23:02:38","date_gmt":"2021-10-31T21:02:38","guid":{"rendered":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?p=1136"},"modified":"2022-04-18T21:18:55","modified_gmt":"2022-04-18T19:18:55","slug":"hiperbola","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/","title":{"rendered":"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola."},"content":{"rendered":"

Hiperbola, tak jak parabola oraz elipsa jest tzw. krzyw\u0105 sto\u017ckow\u0105<\/em>. Podobnie jak one tak i hiperbola posiada zastosowania, kt\u00f3re w historii ludzko\u015bci by\u0142y wykorzystywane w przer\u00f3\u017cny, czasami zaskakuj\u0105cy, spos\u00f3b. Jedna z jej w\u0142asno\u015bci stanowi\u0142a podstawy tego w jaki spos\u00f3b pr\u00f3bowano podczas I wojny \u015bwiatowej lokalizowa\u0107 wrog\u0105 artyleri\u0119 na polu bitwy. Nie jest to oczywi\u015bcie jedyne zastosowanie hiperboli. W tym wpisie opowiemy sobie w\u0142a\u015bnie o tym jak mo\u017cna wykorzysta\u0107 w praktyce posiadane przez ni\u0105 w\u0142asno\u015bci.
\n<\/p>\n

Hiperbol\u0119 na og\u00f3\u0142 kojarzymy z tego, \u017ce wykres funkcji \\(f(x)=\\frac 1x\\) ma w\u0142a\u015bnie jej kszta\u0142t. Ka\u017cda hiperbola sk\u0142ada si\u0119 z dwu cz\u0119\u015bci (tzw. ga\u0142\u0119zi<\/em>), ma dwie osie symetrii oraz dwie asymptoty. Na poni\u017cszym rysunku asymptoty, kt\u00f3rymi w tym przypadku s\u0105 osie uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych, zaznaczono na niebiesko, a osie symetrii na czarno.<\/p>\n

\"hiperbola\"<\/p>\n

Je\u017celi obr\u00f3cimy wykres funkcji \\(f(x)=\\frac 1x\\) o \\(45^\\circ\\), to otrzymamy krzyw\u0105, kt\u00f3ra wykresem funkcji nie jest. Jej osiami symetrii s\u0105 teraz osie uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych.<\/p>\n

\"hiperbola\"<\/p>\n

W takiej sytuacji, gdy osiami symetrii s\u0105 osie uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych oraz o\u015b pozioma zawiera tzw. ogniska<\/em>, to ka\u017cd\u0105 tak\u0105 hiperbol\u0119 opisuje r\u00f3wnanie \\[\\dfrac{x^2}{a^2}-\\dfrac{y^2}{b^2}=1\\] dla pewnych \\(a, b\\neq 0\\).<\/p>\n

Hiperbol\u0119, podobnie jak parabol\u0119<\/a> czy elips\u0119<\/a> mo\u017cna zdefiniowa\u0107 r\u00f3wnie\u017c geometrycznie. I tak jak w przypadku wspomnianych krzywych, tak\u017ce w\u0142asno\u015b\u0107 definiuj\u0105ca hiperbol\u0119 sprawia, \u017ce znalaz\u0142a ona zastosowania praktyczne.<\/p>\n

Z ka\u017cd\u0105 hiperbol\u0105 zwi\u0105zana jest para r\u00f3\u017cnych punkt\u00f3w \\(F_1, F_2\\) – wspomnianych ognisk. Sama za\u015b krzywa jest zbiorem punkt\u00f3w p\u0142aszczyzny o tej w\u0142asno\u015bci, \u017ce warto\u015b\u0107 bezwzgl\u0119dna r\u00f3\u017cnicy odleg\u0142o\u015bci od ognisk jest sta\u0142a. Tzn. istnieje \\(a\\gt|F_1F_2|\\) takie, \u017ce \\[\\left||F_1P|-\\|F_2P|\\right|=a\\]<\/p>\n

\"hiperbola\"<\/p>\n

W\u0142asno\u015b\u0107 ta wydaje si\u0119 na pierwszy rzut oka zwyk\u0142\u0105 ciekawostk\u0105. Okazuje si\u0119, \u017ce t\u0119 ciekawostk\u0119 mo\u017cna wykorzysta\u0107 w praktyce. Tak te\u017c czynili in\u017cynierowie podczas I wojny \u015bwiatowej pracuj\u0105cy nad systemami pomagaj\u0105cymi ustali\u0107 pozycj\u0119 wrogich dzia\u0142 na polu bitwy. Daje ona bowiem teoretyczne podstawy metody pozwalaj\u0105cej, w og\u00f3lno\u015bci, okre\u015bla\u0107 po\u0142o\u017cenie r\u00f3\u017cnych obiekt\u00f3w. Nie tylko wspomnianych dzia\u0142. Przed er\u0105 GPS-u u\u017cywana by\u0142a tzw. nawigacja hiperboliczna<\/em>. W jaki spos\u00f3b to dzia\u0142a\u0142o?<\/p>\n

Dzia\u0142o podczas wystrza\u0142u wydaje dosy\u0107 dono\u015bny d\u017awi\u0119k. Nie jest to na og\u00f3\u0142 ma\u0142a zabawka. Podczas I wojny \u015bwiatowej Niemcy u\u017cywali m.in. dzia\u0142 takich jak poni\u017cszy M\u00f6rser 16, kt\u00f3rego zasi\u0119g wynosi\u0142 11 kilometr\u00f3w.<\/p>\n

\"M\u00f6rser
Billyhill, CC BY-SA 4.0 <https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/4.0>, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n

Je\u017celi na polu bitwy umie\u015bcimy dwa mikrofony \\(A\\) oraz \\(B\\), to ka\u017cdy z nich zarejestruje d\u017awi\u0119k wystrza\u0142u. Powiedzmy, \u017ce najpierw zrobi to \\(A\\), a po pewnym czasie \\(t_{AB}\\) r\u00f3wnie\u017c \\(B\\). \u017beby m\u00f3c co\u015b powiedzie\u0107 na temat po\u0142o\u017cenia dzia\u0142a, wystarczy znajomo\u015b\u0107 pr\u0119dko\u015bci d\u017awi\u0119ku \\(v\\).<\/p>\n

W czasie \\(t_{AB}\\) d\u017awi\u0119k pokonuje odleg\u0142o\u015b\u0107 \\(vt_{AB}\\). Wobec tego dzia\u0142o znajduje si\u0119 na hiperboli o ogniskach \\(A\\) oraz \\(B\\) i wsp\u00f3\u0142czynniku \\(a\\) r\u00f3wnym \\(vt_{AB}\\). Poniewa\u017c d\u017awi\u0119k wystrza\u0142u zosta\u0142 wpierw zarejestrowany przez mikrofon \\(A\\), mo\u017cemy stwierdzi\u0107, \u017ce dzia\u0142o znajduje si\u0119 na ga\u0142\u0119zi \\(h_A\\) znajduj\u0105cej si\u0119 bli\u017cej ogniska \\(A\\).<\/p>\n

Aby m\u00f3c ustali\u0107 pozycj\u0119 dzia\u0142a, potrzebujemy co najmniej jeszcze jednej hiperboli, kt\u00f3ra przetnie si\u0119 z ga\u0142\u0119zi\u0105 \\(h_A\\). Tzn. potrzebujemy jeszcze co najmniej jednego mikrofonu \\(C\\). Maj\u0105c go, mo\u017cemy stwierdzi\u0107, \u017ce dzia\u0142o znajduje si\u0119 na stosownej hiperboli o ogniskach \\(A\\) oraz \\(C\\) (lub \\(B\\) oraz \\(C\\)). Tyle w teorii.<\/p>\n

\"nawigacja<\/p>\n

Rzeczywisto\u015b\u0107 nie jest jednak tak idealna jak obiekty matematyczne takie jak hiperbola. Nale\u017ca\u0142o si\u0119 naturalnie zmierzy\u0107 z wieloma problemami natury praktycznej. Przyk\u0142adowo, pr\u0119dko\u015b\u0107 d\u017awi\u0119ku w du\u017cej mierze zale\u017cy od temperatury, a zmienia si\u0119 ca\u0142y czas. Innym problemem by\u0142o to, \u017ce na polu bitwy bywa, na og\u00f3\u0142, dosy\u0107 g\u0142o\u015bno. Skonstruowanie urz\u0105dzenia pozwalaj\u0105cego odr\u00f3\u017cni\u0107 wystrza\u0142 dzia\u0142a od np. karabinu nie by\u0142o w owych czasach takie proste.<\/p>\n

Aby otrzyma\u0107 jak najdok\u0142adniejsz\u0105 pozycj\u0119 wrogiego dzia\u0142a stosowano wi\u0119cej ni\u017c trzy mikrofony. Poni\u017cej schemat przyk\u0142adowego ich rozmieszczenia oraz innych element\u00f3w systemu na polu bitwy. Mikrofony s\u0105 zaznaczone krzy\u017cykami i numerami od 1 do 6.<\/p>\n

\"hiperbola\"
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u0179r\u00f3d\u0142o: J.R. Hinmann, Ranging in France with Flash and Sound<\/em>, Dunham Printing Co. (1919).<\/figcaption><\/figure>\n

Je\u017celi odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy ogniskami jest ma\u0142a w stosunku do odleg\u0142o\u015bci od dzia\u0142a, to mo\u017cna sobie nieco u\u0142atwi\u0107 \u017cycie. Pozwala\u0142o to upro\u015bci\u0107 wyznaczanie po\u0142o\u017cenia dzia\u0142a kosztem niewielkiej straty dok\u0142adno\u015bci. Tutaj do gry wchodzi\u0142a prosta trygonometria. Sp\u00f3jrzmy na rysunek.<\/p>\n

\"w\u0142asno\u015bci<\/p>\n

\nW punktach \\(A\\) oraz \\(B\\) umieszczone s\u0105 mikrofony. Punkt \\(X\\) jest \u015brodkiem odcinka \\(AB\\) a w punkcie \\(D\\) znajduje si\u0119 dzia\u0142o.<\/p>\n

\nD\u0142ugo\u015b\u0107 odcinka \\(AB\\) (oznaczmy j\u0105 przez \\(a\\)) znamy. Nie znamy natomiast dok\u0142adnej pozycji dzia\u0142a, zaznaczonego k\u0105ta \\(\\alpha\\) jak i d\u0142ugo\u015bci odcink\u00f3w \\(DA\\) oraz \\(DB\\). Poniewa\u017c jednak dzia\u0142o (w teorii) znajduje si\u0119 na hiperboli, to znamy r\u00f3\u017cnic\u0119 \\(c=|DA|-|DB|\\). <\/p>\n

\nZ twierdzenia cosinus\u00f3w wynika, \u017ce \\[|DA|=\\sqrt{r^2+ar\\cos{\\alpha}+\\frac{a^2}{4}}\\textrm{ oraz }|DB|=\\sqrt{r^2-ar\\cos{\\alpha}+\\frac{a^2}{4}}\\]
\nZ tego wynika, \u017ce \\[c=|DA|-|DB|=\\sqrt{r^2+ar\\cos{\\alpha}+\\frac{a^2}{4}}-\\sqrt{r^2-ar\\cos{\\alpha}+\\frac{a^2}{4}}\\]
\nPodnosz\u0105c dwukrotnie do kwadratu otrzymujemy po prostych przekszta\u0142ceniach poni\u017csz\u0105 r\u00f3wno\u015b\u0107:
\n\\[a\\cos{\\alpha}=c\\sqrt{1+\\frac{a^2-c^2}{r^2}}.\\] Na polu bitwy odleg\u0142o\u015b\u0107 dzia\u0142a od mikrofon\u00f3w by\u0142a (na og\u00f3\u0142) znacznie wi\u0119ksza ni\u017c odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy mikrofonami. Wobec tego \\[c\\approx a\\cos{\\alpha}\\] co pozwala, w dobrym przybli\u017ceniu, wyznaczy\u0107 miar\u0119 k\u0105ta \\(\\alpha\\), a wi\u0119c i prost\u0105 przechodz\u0105 przez \\(X\\) oraz \\(D\\). Zmieniaj\u0105c mikrofony \\(A\\) i \\(B\\) na inne, mo\u017cna by\u0142o otrzyma\u0107 inn\u0105 prost\u0105 co pozwala\u0142o ustali\u0107 pozycj\u0119 dzia\u0142a.<\/p>\n

\nAby wszystko jeszcze usprawni\u0107, to u\u017cywano specjalnych tabliczek (jak na rysunku ni\u017cej), na kt\u00f3rych naniesiono stosowne mapy. Punkty od \\(A\\) do \\(F\\) odpowiada\u0142y mikrofonom. Odleg\u0142o\u015b\u0107 mi\u0119dzy nimi wynosi\u0142a cz\u0119sto sta\u0142\u0105 warto\u015b\u0107 (na og\u00f3\u0142 450 jednostek). Wobec tego tabliczki na swoich brzegach zawiera\u0142y skal\u0119 skonstruowan\u0105 w taki spos\u00f3b, \u017ce wystarczy\u0142o poprowadzi\u0107 kawa\u0142ek sznurka z punktu \\(X\\) na liczb\u0119 odpowiadaj\u0105c\u0105 d\u0142ugo\u015bci \\(c\\), a tworzy\u0142 on z odcinkiem \\(AB\\) k\u0105t \\(\\alpha\\). Dla ka\u017cdej pary s\u0105siednich mikrofon\u00f3w by\u0142a przeznaczona oddzielna skala.<\/p>\n

\"hiperbola
\u0179r\u00f3d\u0142o: W. Hope-Jones, Sound Ranging, The Mathematical Gazette, vol. 14 Nr. 195 (1928), str. 173-186<\/figcaption><\/figure>\n

Geometryczna w\u0142asno\u015b\u0107 definiuj\u0105ca hiperbol\u0119 by\u0142a wykorzystywana nie tylko w czasie I wojny \u015bwiatowej lecz tak\u017ce p\u00f3\u017aniej. Przed er\u0105 GPS-u u\u017cywano tzw. nawigacji hiperbolicznej, kt\u00f3ra by\u0142a podstaw\u0105 dzia\u0142ania systemu LORAN (=LOng RANge<\/em>, tj. daleki\/d\u0142ugi zasi\u0119g). Idea dzia\u0142ania by\u0142a podobna. W znanych lokalizacjach rozlokowano stacje bazowe emituj\u0105ce sygna\u0142y.<\/p>\n

U\u017cywaj\u0105cy ich do nawigacji obiekt, np. statek na morzu, mia\u0142 odbiornik pozwalaj\u0105cy wyznaczy\u0107 w jakiej kolejno\u015bci i z jakim op\u00f3\u017anieniem dociera\u0142y do niego sygna\u0142y z poszczeg\u00f3lnych stacji. Pozwala\u0142o to okre\u015bli\u0107 stosowne hiperbole, w kt\u00f3rych przeci\u0119ciu znajdowa\u0142 si\u0119 statek.<\/p>\n

Morze czy ocean ma znacznie wi\u0119ksz\u0105 powierzchni\u0119 ni\u017c pole bitwy i jego powierzchnia nie jest idealnie p\u0142aska. W przypadku pola bitwy za\u0142o\u017cenie p\u0142asko\u015bci by\u0142o jak najbardziej racjonalne, tu jednak tak by\u0107 nie musi. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie aby wykorzysta\u0107 w\u0142asno\u015b\u0107, kt\u00f3rej u\u017cyli\u015bmy do geometrycznego zdefiniowania hiperboli aby zdefiniowa\u0107 nie krzyw\u0105 lecz powierzchni\u0119!<\/p>\n

Maj\u0105c dane dwa ogniska \\(F_1\\) oraz \\(F_2\\), to zbi\u00f3r punkt\u00f3w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej spe\u0142niaj\u0105cych warunek
\n\\[\\left||F_1P|-\\|F_2P|\\right|=a\\] jest powierzchni\u0105 powsta\u0142\u0105 przez obr\u00f3t hiperboli wok\u00f3\u0142 prostej zawieraj\u0105cej jej ogniska. Nazywamy j\u0105 hiperboloid\u0105 dwupow\u0142okow\u0105<\/em>.<\/p>\n

\"hiperboloida\"<\/p>\n

Przeci\u0119cie takiej hiperboloidy z powierzchni\u0105 Ziemi dawa\u0142o hiperbol\u0119 na jej powierzchni. W praktyce, w pierwszych wersjach systemu, u\u017cywano map takich jak poni\u017csza, z naniesionymi stosownymi liniami.<\/p>\n

\"loran\"
\u017ar\u00f3d\u0142o: USAF Aeronautical Chart and Information Center (1954)<\/figcaption><\/figure>\n

To nie jedyne zastosowania hiperboli (i hiperboloidy). Ma ona jeszcze inn\u0105 geometryczn\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107, kt\u00f3ra r\u00f3wnie\u017c znalaz\u0142a zastosowania. Ka\u017cda ga\u0142\u0105\u017a hiperboli jakby otacza jedno ognisko oraz dzieli p\u0142aszczyzn\u0119 na dwie cz\u0119\u015bci. Oznaczmy przez \\(h_2\\) ga\u0142\u0105\u017a hiperboli ,,otaczaj\u0105c\u0105” ognisko \\(F_2\\). Jedna cz\u0119\u015b\u0107 p\u0142aszczyzny zawiera ognisko \\(F_2\\), a druga \\(F_1\\).<\/p>\n

Je\u017celi wystrzelimy promie\u0144 \u015bwiat\u0142a z cz\u0119\u015bci p\u0142aszczyzny zawieraj\u0105cej ognisko \\(F_1\\) w taki spos\u00f3b, \u017ce gdyby nie hiperbola, przeszed\u0142by przez \\(F_2\\), to odbiwszy si\u0119 od ga\u0142\u0119zi \\(h_2\\) przejdzie przez \\(F_1\\). Analogicznie, gdy promie\u0144 zostanie wystrzelony z cz\u0119\u015bci zawieraj\u0105cej \\(F_2\\) w kierunku \\(F_1\\). Sp\u00f3jrzmy na poni\u017cszy rysunek.
\n\"hiperbola\"<\/p>\n

Czerwony promie\u0144 zosta\u0142 wystrzelony z cz\u0119\u015bci p\u0142aszczyzny zawieraj\u0105cej ognisko \\(F_1\\) w kierunku ogniska \\(F_2\\). Tzn. gdyby nie ga\u0142\u0105\u017a hiperboli od kt\u00f3rej si\u0119 odbi\u0142, to przeszed\u0142by przez \\(F_2\\). Hiperbola ma t\u0119 w\u0142asno\u015b\u0107, \u017ce odbiwszy si\u0119 od niej czerwony promie\u0144 przejdzie przez \\(F_1\\). Analogiczn\u0105 sytuacj\u0119 mamy z promieniem szarym. Gdyby nie hiperbola przeszed\u0142by przez \\(F_1\\), ale po odbiciu od hiperboli przejdzie przez \\(F_2\\).<\/p>\n

Wychodz\u0105c od definicji geometrycznej, udowodnimy sobie p\u00f3\u017aniej, \u017ce hiperbola istotnie posiada ow\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107. Najpierw jednak wspomnimy o tym gdzie mo\u017cna j\u0105 zastosowa\u0107. A mo\u017cna to zrobi\u0107 np. w teleskopach. Przypomnijmy, \u017ce parabola te\u017c ma swoje ognisko oraz w\u0142asno\u015b\u0107 pozwalaj\u0105c\u0105 skupia\u0107 promienie w jej ognisku. Wi\u0119cej szczeg\u00f3\u0142\u00f3w tu<\/a>.<\/p>\n

Teleskop Cassegraina<\/a> dzia\u0142a w taki spos\u00f3b, \u017ce wpadaj\u0105ce do niego promienie \u015bwietle s\u0105 wpierw odbijane od parabolicznego zwierciad\u0142a i kierowane na jego ognisko. Nie dotr\u0105 jednak do tego ogniska, gdy\u017c odbij\u0105 si\u0119 od drugiego zwierciad\u0142a hiperbolicznego. Jest ono tak umiejscowione, \u017ce jedno z jego ognisk jest ogniskiem r\u00f3wnie\u017c paraboli. Drugie natomiast znajduje si\u0119 z miejscu, do kt\u00f3rego promienie maj\u0105 finalnie dotrze\u0107.<\/p>\n

\"hiperbola
Sz\u0151cs Tam\u00e1s Tamasflex, CC BY-SA 3.0 <https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0>, via Wikimedia Commons<\/figcaption><\/figure>\n

Wychodz\u0105c z geometrycznej definicji hiperboli, poka\u017cemy \u017ce istotnie posiada opisan\u0105 w\u0142asno\u015b\u0107 zwi\u0105zan\u0105 z odbiciami. Sp\u00f3jrzmy na rysunek. Mamy na nim ga\u0142\u0105\u017a \\(h_2\\) hiperboli, kt\u00f3ra dzieli p\u0142aszczyzn\u0119 na dwie roz\u0142\u0105czne cz\u0119\u015bci: \\(p_2\\) zawieraj\u0105c\u0105 ognisko \\(F_2\\) oraz \\(p_1\\) zawieraj\u0105c\u0105 ognisko \\(F_1\\). Naszym celem jest pokazanie, \u017ce ka\u017cdy promie\u0144 wystrzelony z \\(p_1\\) w kierunku ogniska \\(F_2\\), po odbiciu od ga\u0142\u0119zi \\(h_2\\) przejdzie przez ognisko \\(F_1\\). I analogicznie, gdy w poprzednim zdaniu zamienimy miejscami \\(1\\) oraz \\(2\\).<\/p>\n

\"w\u0142asno\u015bci<\/p>\n

Niech \\(P\\) b\u0119dzie punktem hiperboli na ga\u0142\u0119zi \\(h_2\\). Na odcinku \\(F_1P\\) zaznaczmy taki punkt \\(F\\), aby \\(|PF|=|PF_2|\\). Z definicji hiperboli, je\u015bli \\(P\\) nale\u017cy do \\(h_2\\), to \\(|PF_1|\\gt |PF_2|\\), zatem punkt \\(F\\) istotnie znajduje si\u0119 na odcinku \\(PF_1\\).<\/p>\n

Z tego wynika, \u017ce \\[|F_1P|-|F_2P|=|F_1F|\\] czyli dla ka\u017cdego punktu \\(R\\) hiperboli zachodzi \\[\\left| |F_1R|-|F_2R|\\right|=|F_1F|\\] Przez punkt \\(P\\) oraz \u015brodek \\(S\\) odcinka \\(FF_2\\) poprowad\u017amy prost\u0105 \\(k\\). Tr\u00f3jk\u0105t \\(\\triangle PFF_2\\) jest r\u00f3wnoramienny, a prosta \\(k\\) jest dwusieczn\u0105 jego k\u0105ta przy wierzcho\u0142ku \\(P\\) (jak i k\u0105ta z nim wierzcho\u0142kowego). Czyli przy wierzcho\u0142ku \\(P\\) mamy cztery k\u0105ty tej samej miary. Z tego wynika, \u017ce promie\u0144 (wystrzelony w cz\u0119\u015bci \\(p_1\\)) lec\u0105cy w kierunku \\(F_2\\) odbiwszy si\u0119 od \\(k\\) przejdzie przez \\(F_1\\). Wystarczy wi\u0119c pokaza\u0107, \u017ce \\(k\\) jest styczn\u0105.<\/p>\n

\nW tym miejscu musimy sobie powiedzie\u0107 czym w\u0142a\u015bciwie jest styczna do hiperboli. Niekt\u00f3rzy powiedzieliby, \u017ce jest po prosta maj\u0105ca z ni\u0105 dok\u0142adnie jeden punkt wsp\u00f3lny. Jest to popularny b\u0142\u0105d. Nie ka\u017cda prosta maj\u0105ca z hiperbol\u0105 dok\u0142adnie jeden punkt wsp\u00f3lny jest jej styczn\u0105. B\u0142\u0105d ten bierze si\u0119 zapewne st\u0105d, \u017ce o stycznej m\u00f3wi si\u0119 w szkole po raz pierwszy przy okazji okr\u0119gu. W tym przypadku styczn\u0105 do okr\u0119gu jest ka\u017cda prosta maj\u0105ca z ni\u0105 dok\u0142adnie jeden punkt wsp\u00f3lny. Na nasze potrzeby wystarczy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce je\u015bli mamy punkt \\(P\\) nale\u017c\u0105cy do ga\u0142\u0119zi np. \\(h_2\\) to prosta \\(k\\) jest styczn\u0105 do hiperboli w punkcie \\(P\\) je\u017celi wszystkie jej punkty, opr\u00f3cz \\(P\\), le\u017c\u0105 poza hiperbol\u0105 oraz w cz\u0119\u015bci \\(p_1\\) p\u0142aszczyzny.<\/p>\n

\nNietrudno zauwa\u017cy\u0107, \u017ce je\u015bli \\(P\\) jest punktem hiperboli, \\(a=||F_1P|-||F_2P|\\), za\u015b \\(R\\) jest dowolnym punktem p\u0142aszczyzny, to:<\/p>\n

    \n
  • \\(a\\gt |F_1R|-|F_2R|\\), gdy \\(R\\) le\u017cy w cz\u0119\u015bci \\(p_1\\) p\u0142aszczyzny;<\/li>\n
  • \\(a= |F_1R|-|F_2R|\\), gdy \\(R\\) le\u017cy na hiperboli;<\/li>\n
  • \\(a\\lt |F_1R|-|F_2R|\\), gdy \\(R\\) le\u017cy w cz\u0119\u015bci \\(p_2\\) p\u0142aszczyzny.<\/li>\n<\/ul>\n

    \nNietrudno si\u0119 przekona\u0107, \u017ce tak jest w istocie. Wystarczy spojrze\u0107 na poni\u017cszy rysunek i zastosowa\u0107 nier\u00f3wno\u015b\u0107 tr\u00f3jk\u0105ta.<\/p>\n

    \"hiperbola\" <\/p>\n

    Aby udowodni\u0107, \u017ce promie\u0144 lec\u0105cy w kierunku \\(F_2\\) po odbiciu si\u0119 od hiperboli trafi do \\(F_1\\), wystarczy pokaza\u0107, \u017ce prosta \\(k\\) jest styczn\u0105 hiperboli. Niech \\(R\\) b\u0119dzie dowolnym jej punktem r\u00f3\u017cnym od \\(P\\). W\u00f3wczas \\[|F_1F|+|FR|\\gt |F_1R|\\] gdy\u017c te trzy boki tworz\u0105 tr\u00f3jk\u0105t. Poniewa\u017c \\(k\\) jest symetraln\u0105 odcinka \\(FF_2\\), to \\(|FR|=|F_2R|\\). Zatem \\[|F_1F|+|F_2R|\\gt |F_1R|,\\] a st\u0105d \\[|F_1F|\\gt |F_1R|-|F_2R|.\\] Czyli ka\u017cdy, r\u00f3\u017cny od \\(P\\) punkt prostej \\(k\\) le\u017cy w cz\u0119\u015bci \\(p_1\\) p\u0142aszczyzny, zatem \\(k\\) jest styczn\u0105.<\/p>\n

    \n

    Literatura<\/h4>\n

    J.R. Hinmann<\/strong>, Ranging in France with Flash and Sound<\/em>, Dunham Printing Co. (1919)
    \nW. Hope-Jones<\/strong>, Sound Ranging<\/em>, The Mathematical Gazette, vol. 14 Nr. 195 (1928), str. 173-186
    \nCh. Rousseau, Y. Saint-Aubin<\/strong>, Mathemathics and Technology<\/em>, Springer (2008).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Hiperbola, tak jak parabola oraz elipsa jest tzw. krzyw\u0105 sto\u017ckow\u0105. Podobnie jak one tak i hiperbola posiada zastosowania, kt\u00f3re w historii ludzko\u015bci by\u0142y wykorzystywane w przer\u00f3\u017cny, czasami zaskakuj\u0105cy, spos\u00f3b. Jedna z jej w\u0142asno\u015bci stanowi\u0142a podstawy<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1159,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[59,28,45,43],"tags":[60,31,46,44],"yoast_head":"\nJak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Dzi\u0119ki w\u0142asno\u015bci jak\u0105 ma hiperbola alianci pr\u00f3bowali lokalizowa\u0107 niemieckie dzia\u0142a. Dzi\u0119ki niej powsta\u0142a te\u017c nawigacja hiperboliczna.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pl_PL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Dzi\u0119ki w\u0142asno\u015bci jak\u0105 ma hiperbola alianci pr\u00f3bowali lokalizowa\u0107 niemieckie dzia\u0142a. Dzi\u0119ki niej powsta\u0142a te\u017c nawigacja hiperboliczna.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"βX - blog o matematyce\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2021-10-31T21:02:38+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-04-18T19:18:55+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"1102\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"463\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"\u03b2X\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Napisane przez\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"\u03b2X\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Szacowany czas czytania\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"9 minut\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/\"},\"author\":{\"name\":\"\u03b2X\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"headline\":\"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.\",\"datePublished\":\"2021-10-31T21:02:38+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T19:18:55+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/\"},\"wordCount\":2662,\"commentCount\":3,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png\",\"keywords\":[\"Geometria\",\"Krzywe\",\"Sto\u017ckowe\",\"Zastosowania matematyki\"],\"articleSection\":[\"Geometria\",\"Krzywe\",\"Sto\u017ckowe\",\"Zastosowania matematyki\"],\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/\",\"name\":\"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png\",\"datePublished\":\"2021-10-31T21:02:38+00:00\",\"dateModified\":\"2022-04-18T19:18:55+00:00\",\"description\":\"Dzi\u0119ki w\u0142asno\u015bci jak\u0105 ma hiperbola alianci pr\u00f3bowali lokalizowa\u0107 niemieckie dzia\u0142a. Dzi\u0119ki niej powsta\u0142a te\u017c nawigacja hiperboliczna.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png\",\"width\":1102,\"height\":463},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Blog o matematyce\",\"item\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website\",\"url\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/\",\"name\":\"βX - blog o matematyce\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"pl-PL\"},{\"@type\":[\"Person\",\"Organization\"],\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970\",\"name\":\"\u03b2X\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"pl-PL\",\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"\u03b2X\"},\"logo\":{\"@id\":\"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.beta-iks.pl\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.","description":"Dzi\u0119ki w\u0142asno\u015bci jak\u0105 ma hiperbola alianci pr\u00f3bowali lokalizowa\u0107 niemieckie dzia\u0142a. Dzi\u0119ki niej powsta\u0142a te\u017c nawigacja hiperboliczna.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/","og_locale":"pl_PL","og_type":"article","og_title":"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.","og_description":"Dzi\u0119ki w\u0142asno\u015bci jak\u0105 ma hiperbola alianci pr\u00f3bowali lokalizowa\u0107 niemieckie dzia\u0142a. Dzi\u0119ki niej powsta\u0142a te\u017c nawigacja hiperboliczna.","og_url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/","og_site_name":"βX - blog o matematyce","article_published_time":"2021-10-31T21:02:38+00:00","article_modified_time":"2022-04-18T19:18:55+00:00","og_image":[{"width":1102,"height":463,"url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png","type":"image\/png"}],"author":"\u03b2X","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Napisane przez":"\u03b2X","Szacowany czas czytania":"9 minut"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/"},"author":{"name":"\u03b2X","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"headline":"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.","datePublished":"2021-10-31T21:02:38+00:00","dateModified":"2022-04-18T19:18:55+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/"},"wordCount":2662,"commentCount":3,"publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png","keywords":["Geometria","Krzywe","Sto\u017ckowe","Zastosowania matematyki"],"articleSection":["Geometria","Krzywe","Sto\u017ckowe","Zastosowania matematyki"],"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/","name":"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola.","isPartOf":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png","datePublished":"2021-10-31T21:02:38+00:00","dateModified":"2022-04-18T19:18:55+00:00","description":"Dzi\u0119ki w\u0142asno\u015bci jak\u0105 ma hiperbola alianci pr\u00f3bowali lokalizowa\u0107 niemieckie dzia\u0142a. Dzi\u0119ki niej powsta\u0142a te\u017c nawigacja hiperboliczna.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#breadcrumb"},"inLanguage":"pl-PL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#primaryimage","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png","contentUrl":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/hip03.png","width":1102,"height":463},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/2021\/10\/31\/hiperbola\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Blog o matematyce","item":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Jak odnale\u017a\u0107 dzia\u0142o wroga na polu bitwy? Czyli po co nam hiperbola."}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#website","url":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/","name":"βX - blog o matematyce","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"pl-PL"},{"@type":["Person","Organization"],"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/1b106a5d7ab55666c39af533243b8970","name":"\u03b2X","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"pl-PL","@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/b350a81506ba3d3e614eea686a1f7bf6?s=96&d=mm&r=g","caption":"\u03b2X"},"logo":{"@id":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/#\/schema\/person\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.beta-iks.pl"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1136"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1136"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1136\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1299,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1136\/revisions\/1299"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1159"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1136"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1136"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.beta-iks.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1136"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}