Grupa wolna a język francuski (i nie tylko)

Ciekawe twierdzenie! Grupa o generatorach {a,b,…,z} i relacjach A=B, gdy tylko A oraz B są słowami języka francuskiego o tej samej wymowie jest trywialna. Przedstawimy dowód tego twierdzenia oraz omówimy takie pojęcia jak grupa wolna, generatory oraz relacje.

Matematyka znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, o dziwo nawet w lingwistyce. Co prawda wspomniane we wstępie twierdzenie nie jest chyba czymś co może mieć jakieś praktyczne zastosowania, jednak mimo wszystko stanowi interesującą ciekawostkę. Ponadto, budowa wspomnianej grupy może dawać nam pewne informacje o danym języku. Jej trywialność sugeruje różnorodność z jaką mogą być zapisywane te same dźwięki.

W tym wpisie przedstawimy dowód tego twierdzenia dla języka francuskiego a potem analogiczny dla języka angielskiego. Omówimy również język niemiecki. Jest to też dobra okazja aby wspomnieć o tym czym są takie pojęcia jak grupa wolna czy generatory oraz relacje (w kontekście teorii grup). Na początek jednak zaprezentujemy wspomniane dowody. Następnie dla zainteresowanych, którzy nie są zaznajomieni ze wspomnianymi pojęciami, opowiemy czym one są oraz wspomnimy o ważnych własnościach grup wolnych.

Zacznijmy od precyzyjnego sformułowania naszego twierdzenia. Niech \(G\) będzie grupą wolną generowaną przez zbiór 26-elementowy, którego elementy utożsamiamy z literami alfabetu łacińskiego. Grupę tę nazwijmy lingwistyczną grupą wolną. Dla języka \(J\), którego alfabet jest oparty na łacińskim (z być może dodatkowymi literami) zdefiniujmy zbiór \(R_J\) składający się z relacji \(A=B\), gdy tylko \(A\) oraz \(B\) są zapisane literami alfabetu łacińskiego oraz mają taką samą wymowę. Grupę \[G_J=\langle\{a,b,c,\ldots,z\}| R_J\rangle\] nazwijmy ilorazem homofonicznym języka \(J\).

Twierdzenie [Mestre, Schoof, Washington, Zagier]
Ilorazy homofoniczne języka francuskiego oraz angielskiego są trywialne.

Najpierw przedstawimy dowód dla języka francuskiego. Jego idea jest bardzo prosta. Będziemy po kolei pokazywali, że poszczególne litery alfabetu łacińskiego są trywialne. Dowód ten pochodzi z pracy Homophonic Quotients of Free Groups autorstwa matematyków wymienionych powyżej. Praca została napisana w bardzo ciekawy sposób. Dowód dla języka francuskiego jest po angielsku, a dla języka angielskiego po francusku.

Relacja

soie = soi

oznacza, że litera \(e\) jest trywialna w \(G_J\). Dalej mamy dalsze relacje oraz po prawej stronie kolejne litery, które dzięki danej relacji stają się trywialne.

soit=soi	t
sois=soi	s
aux=au	x
serre=sert	r
ce=se	s
balle=bal	l
laid=lait	d
haut=au	h
parlent=parle	n
allez=aller	z
sept=cet	p
champs=chant	m
fard=phare	f
an=en	a
mais=mets	i
bayer=bailler	y
sang=cent	g
jet=geai	j
abbesse=abaisse	b

Jeśli chodzi o k, to relacja khan=quand implikuje, że k=qu. Zaś lacque=lac, że qu jest trywialne.

coq=coke	q, u
pot=peau	o
watt=ouate	w
vaguons=wagon	v

co kończy dowód. Bez problemu można owe twierdzenie uogólnić dodając do liter łacińskich (wymienione niżej) litery akcentowane alfabetu francuskiego oraz ligaturę œ. Mamy wówczas

là=la	à
guère=guerre	è
allé=aller	é
ôte=haute	ô
appât=appas	â
mùr=mur	û
île=il	î
fête=faîte	ê
œufs=eux	œ
ça=sa	ç

Pewną wątpliwość wzbudziła u autora tego wpisu równość se=ce. Tłumacz google podaje różną wymowę tych słów, jednak słownik pons już taką samą. Uznajemy więc iż wymowa jest taka sama, zwłaszcza biorąc pod uwagę, że wśród autorów dowodu jest francuski matematyk Jean-François Mestre.

Analogiczny dowód dla języka angielskiego wygląda następująco:

bye=by (e), lead=led (a), maid=made (i), sow=sew (o), buy=by (u), sow=so (w), lye=lie (y), hour=our (h), knight=night (k), damn=dam (n), psalter=salter (p), plumb=plum (b), bass=base (s), butt=but (t), tolled=told (l), barred=bard (r), dammed=damned (m), chased=chaste (d), sign=sine (g), daze=days (z), cite=sight (c), jeans=genes (j), queue=cue (q), tax=tacks (x), phase=faze (f), chivvy=chivy (v)

Natomiast w pracy Gangla, Karaaliego oraz Lee autorzy rozważają języki niemiecki, turecki oraz koreański (tutaj naturalnie bierzemy alfabet koreański a nie łaciński). Ilorazy homofoniczne grup języków tureckiego oraz koreańskiego wydają się nie być trywialne.

Autorzy próbują również udowodnić, że iloraz homofoniczny języka niemieckiego jest trywialny. Jednak ich dowód zawiera relację Jäckchen — Yäkchen, która zawiera literę ä. Nie jest to litera alfabetu łacińskiego! Mamy relację zawierającą znak nienależący do zbioru generatorów! Relacja ta ma na celu pokazanie, że j jest trywialna. Podają również przykład słów Yoghurt=Joghurt, choć jogurt po niemiecku to Joghurt. Być może można również pisać Yoghurt, ale wg autora tego wpisu poprawność dowodu jest dyskusyjna. Tym bardziej, że autorzy wykorzystują kilka (chyba nieco naciąganych) zapożyczeń.

A jak wygląda sprawa jeśli chodzi o język polski? Cóż, pracy żadnej na ten temat nie udało mi się znaleźć, ale wydaje się, że iloraz homofoniczny naszego języka raczej nie jest trywialny.

Teraz możemy przejść do omówienia, idei bardziej niż formalnej konstrukcji, takich pojęć jak grupa wolna, generatory czy relacje (naturalnie w kontekście teorii grup). Zacznijmy od grupy wolnej. Idea jest bardzo prosta.

Niech \(X\) będzie niepustym zbiorem (zwanym alfabetem). Skończony ciąg elementów zbioru \(X\) lub elementów postaci \(x^{-1}\) (które utożsamiany z odwrotnymi do tych ze zbioru \(X\)) nazywamy słowem. Uwzględniamy również słowo puste. Powszechną konwencją jest pisanie słów nie jak ciągów \(x,y,z\) lecz tak jak zwykłe słowa (tj. bez przecinków) \(xyz\).

Rozważamy jedynie takie słowa, w których nie występują obok siebie ciągi postaci \(xx^{-1}\) lub \(x^{-1}x\), gdyż naturalnie uważamy \(x\) oraz \(x^{-1}\) za elementy wzajemnie odwrotne, więc się one skracają. Słowa o tej własności nazwijmy zredukowanymi. Poniżej przykład ciągu operacji prowadzących do słowa zredukowanego.

Dodatkowo, ciągi tych samych elementów zapisujemy używając potęg. Tj. w postaci \(x^n\) zamiast \(xxx\ldots x\), gdy tych iksów jest \(n\) oraz analogicznie \(x^{-n}\).

Naturalnym działaniem w zbiorze słów zredukowanych jest ich łączenie, i następnie ewentualne skracanie (np. gdy jedno słowo kończy się na \(x\), a drugie zaczyna na \(x^{-1}\)) aż do uzyskania słowa zredukowanego. Okazuje się, że zbiór słów zredukowanych \(F(X)\) z tak zdefiniowanym działaniem tworzy grupę. Słowo puste jest elementem neutralnym, słowem odwrotnym do słowa \[x_1x_2\ldots x_n\] jest \[x_n^{-1}x_{n-1}^{-1}\ldots x_1^{-1},\] a i samo działanie jest również łączne. I jest to właśnie grupa wolna generowana przez \(X\).

Prosty przykład. Jeżeli \(X=\{x\}\), to grupa wolna generowana przez \(X\) składa się ze słowa pustego oraz słów postaci \[x, x^{-1},\ xx=x^2,\ x^{-1}x^{-1}=x^{-2},\ \ldots \] czyli jest izomorficzna z grupą liczb całkowitych \((\mathbb Z, +)\).

Z kolei grupa wolna o dwóch generatorach, to zbiór skończonych ciągów takich jak \(x^2y^{-3}xy^5\) czy \(y^{-1}x^7y^{12}x^4y^{-3}\), tj. takich w których oba generatory występują naprzemiennie w niezerowych potęgach. Plus oczywiście słowo puste oraz słowa postaci \(x^n\) czy \(y^n\). Osoby zaznajomione z topologią wiedzą, że grupa wolna o dwóch generatorach jest izomorficzna z grupą podstawową bukietu dwu okręgów czyli ósemki, lub ogólniej – grupa podstawowa bukietu \(n\) okręgów jest izomorficzna z grupą wolną o \(n\) generatorach. Pojawianie się grup, które definiuje się przy pomocy generatorów i relacji nie jest niczym nadzwyczajnym w topologii algebraicznej.

Idea konstrukcji, którą zarysowaliśmy była prosta. Teraz ją uogólnimy. Bierzemy wszystkie “słowa” (tj. skończone ciągi), które możemy stworzyć korzystając z elementów zbioru \(X\) oraz elementów do nich odwrotnych. Przy czym zakładaliśmy, że słowa postaci \(xx^{-1}\) oraz \(x^{-1}x\) możemy usunąć, bo elementy odwrotne się skracają. Może się z zdarzyć, że chcielibyśmy aby i inne ciągi były równe elementowi neutralnemu. Albo chcielibyśmy różne słowa traktować jako równe. Tego typu równości nazywamy relacjami.

Przykładem relacji (w kontekście teorii grup) jest równość \(xx^{-1}=e\), gdzie \(e\) to element neutralny. Taka relacja oznacza, że jeśli w słowie pojawi się ciąg \(xx^{-1}\), to możemy go usunąć, gdyż chcemy aby był równoważny słowu pustemu. Z kolei relacja \[xy=yx\] oznacza, że ciągi \(xy\) oraz \(yx\) chcemy utożsamiać. Jest to równoważne równości \(xyx^{-1}y^{-1}=e\)

Mamy więc dwa sposoby zapisywania relacji. Możemy je zapisywać jako równości słów \(s_1=s_2\) albo w postaci słów \(s\), które chcemy utożsamiać z elementem neutralnym. Relację \(s_1=s_2\) możemy tym drugim sposobem zapisać jako słowo \(s_1s^{-1}_2\).

Jeżeli do grupy wolnej z jednym generatorem \(x\) dodamy relację \(x^n\), dla pewnego \(n\in\mathbb N^{+}\), to otrzymamy grupę cykliczną o \(n\) elementach.

Powyższa konstrukcja daje nam nowy sposób definiowania grup, który czasami jest wygodniejszy od innych. Wracając do topologii, znany jest algorytm, który pozwala przedstawić grupę podstawową kompleksu symplicjalnego w postaci właśnie generatorów i relacji. Mimo iż często taki sposób definiowania grup jest niezwykle wygodny, to ma swoje mankamenty. Daną grupę można często na wiele różnych sposobów tak przedstawić. Pojawia się pytanie: jak sprawdzić czy dwa przedstawienia prowadzą do grup izomorficznych?

Ważną własnością grupy \(F(X)\) jest to, że jeśli \(G\) jest grupą, to dowolna funkcja \(f:X\to G\) przedłuża się w sposób jednoznaczny do homomorfizmu \(\tilde{f}:F(X)\to G\). Jest to intuicyjnie oczywiste, gdyż każdy element grupy \(F(X)\) możemy utożsamiać z pewnym słowem zredukowanym, tj. konkretnym ciągiem generatorów.

Kolejną ważną własnością grup wolnych jest to, że każda grupa \(G\) jest grupą ilorazową pewnej grupy wolnej. Wobec tego wszędzie tam, gdzie pojawiają się jakiekolwiek grupy, są spore szanse, że pojawią się i grupy wolne. A grupy pojawiają się również w zastosowaniach nie tylko matematycznych.

Literatura:

---

J-F. Mestre, R. Schoof, L. Washington, D. Zagier, Quotients Homophones des Groupes Libres. Homophonic Quotients of Free Groups., Experiment. Math. 2(3) (1993), s. 153-155.

H. Gangl, G. Karaali, W. Lee, Homophonic Quotients of Linguistic Free Groups: German, Korean, and Turkish, Involve 12(3) (2019), s. 463-474.